2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第2章 函数与导数―积分

学案13定积分与微积分基本定理返回目录1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为、、、.取极限分割近似代替求和返回目录2.定积分的定义如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,用分点a=x0x1…xi-1…xn=b将区间［a,b］等分成n个小区间,在每个小区间［xi-1,xi］上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式.当n→+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］上的定积分,记作,即=,其中f(x)叫做,x叫做,f(x)dx叫做,区间［a,b］叫做,a叫做,b叫做,“∫”称为积分号.积分上限bf(x)dxa)f(ξab-1Δx)f(ξin1in1iibf(x)dxa)f(ξab-limin1inn被积函数积分变量被积式积分区间积分下限返回目录3.的实质(1)当f(x)在区间［a,b］上大于0时,表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的.这也是定积分的几何意义.(2)当f(x)在区间［a,b］上小于0时,表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的.bf(x)dxabf(x)dxabf(x)dxabf(x)dxa面积的相反数面积(3)当f(x)在区间［a,b］上有正有负时,表示介于x=a,x=b(a≠b)之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.4.定积分的运算性质(1)=.(2)=.(3)=.返回目录bf(x)dxabkf(x)dxabdxg(x)f(x)abf(x)dxabf(x)dxakbbg(x)dxf(x)dxaab)c(ag(x)dxf(x)dxbcca返回目录5.微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理,其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.F(b)-F(a)记为F(x).即=F(x)=F(b)-F(a).6.利用微积分基本定理求定积分的关键是可将基本初等函数的导数公式逆向使用.bf(x)dxabf(x)dxa|ba|ba求被积函数的原函数返回目录考点一利用微积分定理求定积分计算下列定积分:(1)x(x+1)dx;(2)(e2x+)dx;(3)sin2xdx.2021x1∫π0【分析】求出被积函数的原函数,用微积分基本定理进行求解,计算f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x).其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.返回目录ba【解析】(1)∵x(x+1)=x2+x且(x3)′=x2,(x2)′=x,∴x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx==(×23-0)+(×22-0)=.312120202020202203|x|x31213121314返回目录(2)∵(lnx)′=,(e2x)′=e2x·(2x)′=2e2x,得e2x=(e2x)′,所以(e2x+)dx=e2xdx+dx=e2x+lnx=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.x12121x12121x121|21|2121212121(3)由(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,得cos2x=(sin2x)′,所以sin2xdx=(-cos2x)dx=dx-cos2xdx=x-(sin2x)=(-0)-(sin2π-sin0)=.002121021210210|21212212122121返回目录0|返回目录【评析】计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.返回目录＊对应演练＊求下列定积分:(1)(2x-3x2)dx;(2)sin2dx;(3)(x+)dx.30x120212x(1)(2x-3x2)dx=2xdx-3x2dx=x2-x3=-18.(2)sin2dx=dx=dx-cosxdx=x-sinx=.返回目录30303030|202x20)(2cosx-1202121202130|212020214(3)(x+)dx=xdx+dx=x2+lnx=+ln2.返回目录212321x12121x121|21|返回目录考点二分段函数的定积分计算下列定积分:(1)|sinx|dx;(2)|x2-1|dx.【分析】对于第(1)小题,应对在区间［0,2π］上的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小题，在0≤x≤2的条件下，对x2-1的正、负情况进行讨论.2020【解析】(1)∵(-cosx)′=sinx,∴|sinx|dx=|sinx|dx+|sinx|dx=sinxdx-sinxdx=-cosx+cosx=-(cosπ-cos0)+(cos2π-cosπ)=4.返回目录2002020|2|(2)∵0≤x≤2,x2-1(1≤x≤2)1-x2(0≤x≤1),∴|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=(x-x3)+(x3-x)=(1-)+(×23-2)-(-1)=2.【评析】(1)含绝对值的函数实际上就是分段函数.(2)分段函数在区间［a,b］上的定积分可分成几段定积分和的形式,分段的标准就是分段函数的标准.返回目录∴|x2-1|=2010213110|3121|313131＊对应演练＊x3x∈［0,1］x2x∈(1,2］2xx∈(2,3］在区间［0,3］上的积分;(2)计算:dx.返回目录(1)求函数f(x)=20sin2x-1(1)由积分性质知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx=x3dx+x2dx+2xdx=++==.返回目录301021321024x21321010331x322ln2x2ln42ln83138412ln41231返回目录(2)当x∈[0,]时,=|sinx-cosx|-sinx+cosx0≤x≤sinx-cosx≤x≤,∴=|sinx-cosx|dx=|sinx-cosx|dx+|sinx-cosx|dx=(-sinx+cosx)dx+(sinx-cosx)dx22)cos(sin2sin1xxx=442dxx202sin12040244024=(cosx+sinx)+(-sinx-cosx)=cos+sin-(cos0+sin0)+（-sin-cos）-（-sin-cos）=+-1+(-1)-（--）=2-2.0442442244222222222返回目录考点三利用定积分几何意义求定积分求定积分.【分析】当利用微积分基本定理不能奏效时，需考虑用定积分的几何意义来进行解决.【解析】设,则x2+y2=1（y≥0）,∵表示由曲线在［0,1］上的一段与坐标轴所围成的面积，即在第一象限部分的圆的面积，∴.dxx102121xy21xydxx102141102dxx【评析】用定积分的几何意义求定积分，不仅简捷可行，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系.因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本学案内容的关键.返回目录返回目录＊对应演练＊求定积分.令y=，则(x-3)2+y2=25(y≥0),∵表示由曲线y=在［-2,3］上的一段与x轴和直线x=3所围成的面积，∴=·π·52=π.dxxx2226162616xxdxxx2226162616xxdxxx22261641425返回目录考点四定积分的应用求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.【分析】先求出抛物线y2=2x与直线y=4-x的交点,将积分区间确定,再求定积分.y2=2xy=4-x解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).解法一:选x作为积分变量,由图可看出S=A1+A2,【解析】由方程组在A1部分:由于抛物线的上半支方程为y=,下半支方程为y=-，所以==,==于是：S==18.x2x21ASdxxdxxx20212022)]2(2[31632220223x2ASdxxx)]2(4[8233832221402232xxx318316返回目录返回目录解法二：选y作积分变量，将曲线方程写为x=及x=4-y.S==30-12=18.【评析】对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大概图形,然后根据图形的特点,选择相应的积分变量以确定积分区间,写出图形面积的积分表达式,再进行求解.2422242624]24[yyydyyy22y＊对应演练＊如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积61312132)(1032102xxdxxxS返回目录抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标所以又知S=,所以(1-k)3=,于是k=.kxx1,02131032102)1(61321)(2kxxkdxkxxxSkk612412113321返回目录考点五定积分在物理中的应用一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,求此汽车在这1min内所行驶的路程.【分析】由题意知,在t∈［0,10)和t∈［40,60)物体做匀变速直线运动,t∈［10,40)做匀速运动,∴v(t)应为分段函数,应三段求积分.返回目录【解析】由速度—时间曲线易知,3t,t∈［0,10)30,t∈［10,40)-1.5t+90,t∈［40,60］,由变速直线运动的路程公式可得答:此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.v(t)=135090433023)905.1(303604024010101260404010100ttttdttdtdttS返回目录【评析】用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分,然后求出积分的和,即可得到答案,由于函数是分段函数,所以运算过程可能稍微复杂些,因此在运算过程中一定要细心,不要出现计算上的错误.返回目录＊对应演练＊A,B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24-1.3t)m/s.在B点恰好停车,试求:(1)A,C间的距离;(2)B,D间的距离;(3)电车从A站到B站所需的时间.返回目录（1）设A到C经过t1s,由1.2t1=24得t1=20(s)，所以AC==240(m).（2）设从D→B经过t2s，由24-1.2t2=0得t2=20(s),所以DB==240(m).（3）CD=7200-2×240=6720(m).从C到D的时间为t3==280(s).于是所求时间为20+280+20=320(s).20020026.02.1ttdt200)2.124(dtt246720返回目录1.被积函数若含有绝对值号应去绝对值号,再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量.3.求曲边多边形的面积,其步骤为:(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象.(2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下