第四章-边界层

第四章边界层理论基础边界层理论由普朗特1904年(Prantdl)提出，用于处理高Re数的流动问题。边界层理论不但在动量传递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点以及某些简单边界层的求解等问题。对于某些流动问题，其惯性力黏性力。采用理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl发现，其根本原因是：在物体与流体接触的界面附近的薄层流体内，惯性力~黏性力，应单独处理—边界层理论。为什么要提出边界层理论？第四章边界层理论基础4.1边界层的概念一、普朗特边界层理论的要点二、边界层的形成过程三、边界层厚度的定义第四章边界层理论基础1.当流体以高Re流过固体壁面时，由于流体的黏性作用，在壁面上流速降为零；(不“滑脱”)2.在壁面附近区域存在一极薄的流体层，其内速度梯度很大；一、普兰德边界层理论的要点δu0u03.在远离壁面的流动区域，其速度梯度几乎为零，可视其为理想流体的势流。分为两个截然不同的区域边界层外部流动区域二、边界层的形成过程1.平板壁面上的速度边界层当黏性流体（高Re）在一半无穷平板壁面上流动时，速度边界层的形成过程见图：首先，在壁面附近有一薄层流体，速度梯度很大；在薄层之外，速度梯度很小，可视为零。壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。二、边界层的形成过程x=0xyu0u0u0u0层流边界层和湍流边界层在板前缘附近，边界层内流速较低，为层流边界层；而后逐渐过渡为湍流边界层。湍流边界层分为3层近壁面的薄层流体为层流内层；其次为缓冲层；然后为湍流核心。二、边界层的形成过程x=0xyu0u0u0u0层流边界层过渡区湍流边界层层流内层缓冲层湍流核心临界距离和临界雷诺数：临界距离xc由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离；平板流动Re0ccxxuρRe=μ0xxuρRe=μ56210310cxRex—由平板前沿算起的距离，mu0—主流区流体流速，m/s。临界Rexc二、边界层的形成过程x=0xyu0u0u0u0xc层流边界层过渡区湍流边界层层流内层缓冲层湍流核心2.管内边界层形成过程0ufLiδr黏性流体以u0的流速流进管内,在进口附近形成速度边界层。二、边界层的形成过程(a)u0较小，在管中心汇合依然为层流边界层。汇合以后为充分发展的层流：二、边界层的形成过程LfriLfri（a）层流边界层（b）层流与湍流边界层层流边界层湍流边界层(b)u0较大，在汇合之前已发展为湍流边界层。汇合以后为充分发展的湍流；u0u0流动进口段—由管进口开始至边界层汇合以前的距离Lf充分发展的流动—边界层汇合以后的流动二、边界层的形成过程管内流动雷诺数bdρuRe=μd—圆管直径，m；ub—主体流速，m/s。Re2000时，管内流动为层流。二、边界层的形成过程三、边界层厚度的定义1.平板边界层厚度δ099%xuuδy2.管内边界层的厚度099%xuuδy进口段区汇合后iδr0.0575fL=RedLf—进口段长度，m；d—管道内径，m；Re—雷诺数。三、边界层厚度的定义第四章边界层理论基础4.1边界层的概念4.2普朗特边界层方程一、普朗特边界层方程的推导二、普朗特边界层方程的解一、普朗特边界层方程的推导22221xxxxxyuuuupμuuxyρxρxy22221yyyyxyuuuupμuuxyρyρxy0yxuuxyu0yx0δ(x)不可压缩流体沿平壁作稳态二维层流流动的变化方程：非线性二阶偏微分方程uzuur大Re数下的边界层流动有两个重要性质：2.边界层内粘性力与惯性力的量级相同。1.边界层厚度δ物体特征尺寸x；对平板上流动的变化方程作量阶分析：量阶：指物理量在整个区域内相对于标准量阶而言的平均水平，不是指该物理量的具体数值。一、普朗特边界层方程的推导取如下两个标准量阶：(1)xO0(1)uO（1）取坐标x为距离的标准量阶，外流速度u0为流速的标准量阶，即（2）取边界层厚度δ为另一个标准量阶：()δOδ一、普朗特边界层方程的推导（1）ux：0→u0，ux=O(1)(1):(1)(1)xxuΔuOOxΔxO（2）22222(1):(1)()(1)(1)xxxuuΔuOOxxΔxOO（3）)(Oy（4）y：在边界层的范围内，y由0→δ，()yOδ（5）uy：由连续性方程0(1),yyxuuuOxyy()()yyOδuOδ(1)1:()()xxxuuΔuOOyyΔyOδδ（6）一、普朗特边界层方程的推导2222222(1)1:()()()xxxuuΔuOOyyΔyOδδ（7）22221xxxxxyuuuupμuuxyρxρxy11δ11/δ21/δ2222(1)xxuuxy2(2)/()μρνOδ分析结果：获得边界层流动，流体的粘性要非常低1(3)(1)pOρx一、普朗特边界层方程的推导221xxxxyuuupuuνxyρxy22221yyyyxyuuuupμuuxyρyρxy1δδ1δ2δ1/δ分析结果：（1）各项的量阶均小于或等于1()()pOδOδρy（2）y方向的运动方程较次要，可忽略不计。一、普朗特边界层方程的推导()()0(1)pyOδpOδpxOy（3）沿边界层法线方向上流体的压力梯度可忽略，即压力可穿过边界层保持不变。根据理想流体理论，边界层外部边界上的压力分布是确定的。于是边界层内的压力变成了已知函数。一、普朗特边界层方程的推导221xxxxyuuupμuuxyρxρy二、普朗特边界层方程的解0yxuuxyB.C.(1)0,0,0xyyuu0(2),xyδuu0(2),xyuu普朗特边界层方程边界层外为理想流体的势流，可用Bernolli方程描述。在流动的同一水平高度上，有考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。202ρup常数000dudpρudxdx0dpdx0py边界层内：0dpdx二、普朗特边界层方程的解p1p2u0yx0δp3p422xxxxyuuuuuνxyy0yxuuxyxψuyyψux流函数22323ψψψψψνyxyxyy(1)0,0ψyy(2)0,0ψyx0(3),ψyuy二、普朗特边界层方程的解相似变换法求解0(,)uηxyyνx令[msm]ψ将流函数转变为无量纲形式的流函数：0()ψfηuνxψ()fηxxy二、普朗特边界层方程的解0000(1)uψdfdfuνxyuufydηyνxdη2200022(2)uψdfηuufydηyνx2303(3)uψfyνx0001(4)()()()2uνψdfηfηuνxuνxfηfxxdηxx2000311(5)22uuψufyηfxyνxx二、普朗特边界层方程的解20fffB.C.(1)0,'0ηf(2)0,0ηf(3),1ηf245688110.166034.5943102.4972101.427710fηηηη级数解：二、普朗特边界层方程的解表4-1无量纲流函数及其导数0uηyνxf0'xufu''f0000.332060.20.006640.066410.331991.00.165570.329790.323015.03.283290.991550.01591二、普朗特边界层方程的解边界层内的速度分布0xψuufy01()2yuνψuηffxx对于给定的位置（x，y）→η，f，f’→ux，uy二、普朗特边界层方程的解边界层厚度00.99xfuu当时，壁面的法向距离y即为边界层厚度，此时05.0uηνyx05.0νxδu125.0xδRex二、普朗特边界层方程的解局部摩擦曳力系数0xsxyuτμy200200(0)xyyuuψufyyνx212000(0)0.33206sxxuτμufρuReνx122020.664xDxxτCReρu二、普朗特边界层方程的解流体流过长度为L、宽度为b的平板壁面的总曳力0300000.3320.664LdsxLFbτdxudxμbuμρLuνx平均曳力系数3012220020.66421.328dDLμρLuFCReρuAρubL二、普朗特边界层方程的解第四章边界层理论基础4.1边界层的概念4.2普朗特边界层方程4.3边界层积分动量方程二、平板层流边界层的近似解一、边界层积分动量方程的推导一、边界层积分动量方程的推导普朗特边界层方程虽然比一般化的奈维—斯托克斯方程简单，但仍然只有在少数几种简单的流动情形例如平板、楔形物体等才能获得精确解。工程实际中，许多较复杂的问题直接求解普兰德边界层方程相当困难。本节介绍一种计算量较小、工程上广泛采用的冯卡门（Karman）提出的积分动量方程法。基本思想是：在边界层内，选一微分控制体作微分动量衡算，导出一个边界层积分动量方程；然后用一个只依赖于的单参数速度剖面近似代替真实速度侧形，将其代入边界层积分动量方程中积分求解，从而可以得到若干有意义的物理量如边界层厚度、曳力系数的表达式。一、边界层积分动量方程的推导在距壁面前缘x处，取一微元控制体dV=δdx×1（1）yxu0δδdδ0dx1423将动量守恒原理应用于微元控制体dV，得()ΣdmdθuFx方向：()ΣxxdmuFdθ（1）一、边界层积分动量方程的推导1-2截面：流入10(1)δxmρudy210(1)δxJρudy3-4截面：流出12110(1)δxmmmdxmρudydxxx212110(1)δxJJJdxJρudydxxx一、边界层积分动量方程的推导yxu0δδdδ0dx14232-3截面：流入1-4截面：无对流40m40J3210(1)δxmmmρudydxx30300(1)δxJumuρudydxx一、边界层积分动量方程的推导yxu0δδdδ0dx1423整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差，即200000(1)(1)()δδxxδxxρudydxρuudydxxxρuuudydxx（2）一、边界层积分动量方程的推导213()xdmuJJJdθu0yxδδdδ0dx1423作用在控制体x方向上的力（取x坐标方向为正号）①1-4截面（壁面剪应力）()(1)ssτdxτdx②1-2截面（压力）：(1)pδpδ一、边界层积分动量方程的推导yxu0δδdδ0dx1423③3-4截面（压力）：()()(1)()pδpδdxxpδpδdxx④2-3截面（压力）因该截面与理想流体接壤，故无剪应力，仅存在着流体的压力(1)δδpdxpdxxx一、边界层积分动量方程的推导y0xu0δδdδdx1423作用在整个微元控制体上的x方向的合外力为()()xxspδδFpδpδdxpdxτdxxxpδτdxx00()δxxspρuuudyδτxx（3）将式（2）和（