第五章-点的运动学描述和刚体的简单运动

1运动学2运动学是研究物体运动几何性质的科学。是从几何学方面来研究物体的机械运动，不研究物体的运动规律与力、惯性等物理因素的关系，单独研究物体运动的几何性质，包括：运动方程、轨迹、速度和加速度等。学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。34本章介绍三种方法（即矢量法、直角坐标法和自然法）研究点相对某一个参考系的几何位置随时间变化的规律，包括点的运动方程、轨迹、速度和加速度等。本章内容§5.1点的运动学描述§5.2刚体的平移§5.3刚体的定轴转动§5.4轮系的传动比§5.5以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度51.运动方程选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。§5.1点的运动学描述MrO以矢量表示的点的运动方程)(trr当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即矢端曲线即为动点运动轨迹一、矢量法62.速度动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δrtrtrvtddlim073.加速度点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。avr220ddddlimtrtvtvat8如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，…，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。速度矢端曲线OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向确定9由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合，所以矢径r可表示为：则动点M在任意瞬时的空间位置，既可用相对于O的矢径r表示，这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。二、直角坐标法123()()()xftyftzftMrkijyxzOyxz有一动点M。也可用它的三个直角坐标表示。也是点运动轨迹的参数方程1.运动方程取一固定的直角坐标系Oxyz，kzjyixr10速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。2.速度若已知速度的投影，则速度的大小为222zyxvvvv其方向余弦为txvxddtyvyddtzvzddktzjtyitxtrvddddddddkvjvivzyxkzjyixrvzkvvyjvvxiv),cos(,),cos(,),cos(11加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。3.加速度若已知加速度的投影，则加速度的大小为222222zyxaaaazyx其方向也可确定22ddddtytvayy22ddddtztvazz22ddddtxtvaxxktvjtvitvtvazyxddddddddkajaiazyxkvjvivvzyx12解：以O为坐标圆点，建立如图坐标系。M点的坐标为：sinsinxOMOAr将=wt带入上式，得M点的运动方程：sinxrtw将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttwwBABOKMKwxx例1如图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄OA长为r，自水平位置开始以匀角速度w转动，即=wt，滑槽K-K与导杆B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。13例2一人高h2，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面的高为h1，求人影的顶端M沿地面移动的速度。解:取坐标轴Ox如图所示，由几何关系得:上式对t求一阶导数，得M点的速度为:221xxxhhMM2121hhxhxM12112211ddddvhhhtxhhhtxvMMh1h2xmx2MxO14)(tfs这就是点沿轨迹的运动方程或以弧坐标表示的点的运动方程。三、自然法1.弧坐标设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即MOs(-)(+)15在运动轨迹上取极为接近的点M和M1，切线的单位矢量分别为τ和τ1，指向与弧坐标正向一致。将τ1平移到点M，则τ和τ1决定一平面。令M无限趋近点M1，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与τ、n构成右手系。2.自然轴系16以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。且三个单位矢量满足右手法则，即曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。曲率nbsssdd1lim017由左图知：2Δsin2Δφττ1Δ0Δ0Δ＝垂直，且有与，，时当τττφsφΔΔτ又因为Δs为正时，点沿切向τ的正方向运动，Δτ指向轨迹内凹一侧；反之则相反。于是有nφτΔΔ则19nnsssss1limlimdd00183点的速度tststrvttddlimlim00用矢量表示为：在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。srtΔΔ0→Δ＝时，有当vdtdsv194点的切向加速度和法向加速度由于所以nρvvnρtssτtτ1ddddddtτvτtvτvttvaddddddddnaτaaantnt法向加速度切向加速度，ρvatva2ntdd==其中17nvτtva2dd20上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：切向加速度at反映速度代数值对时间的变化率，反映速度大小的变化，它的方向沿轨迹的切线方向；法向加速度an反映速度方向改变的快慢程度，它的方向沿主法线的方向，指向曲率中心。naτaaantntnvτtva2dd21全加速度为at和an的矢量和22tnaaa大小：方向：tn||tanaantaaa22200t12ssvtatttddacvat了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持不变。0ssvt如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为曲线匀变速运动。现在来求它的运动规律。tavvt023例3下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t以s计。求卷筒边缘一点M在t＝4s时的速度和加速度。解：此时M点的切向加速度为：2td4cm/sdvatv＝4×4＝16cm/s当t=4s时速度为：M点的法向加速度为：OMRM'A0AM0yatanaθttsv4dd22s/cm16Rvan24M点的全加速度为：222tn16.5cm/saaatntan||0.25arctan0.25142'aaOMRM'A0AM0yatanaθ25例4列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度均匀增加，行驶s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若铁轨曲线形状如图1-17所示。在M1、M2点的曲率半径分别为ρ1=600m,ρ2=800m。求列车从M1到M2所需的时间和经过M1和M2处的加速度。M1M2v1v1at2解：20021tatvssttavvt02222122s/m1.0100025152svvatat1（1）求从M1到M2所需时间26θ1an1a1(2)求列车经过M1和M2时的法向加速度：(3)求列车经过M1时的全加速度：s1001.051512tavvt221222s/m281.060015vana2an2M1M2v1v1at2at1221211s/m042.06005van2222121s/m108.0042.01.0ntaaa（4）求列车经过M2时的全加速度：2222222s/m293.0281.01.0ntaaa4.6715.192θ227例5杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知φ＝ωt(ω为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系。则即为小环M的运动方程。2cos2sinRyRxtRytRxww2cos2sintRxvxww2cos2tRyvyww2sin2ABMOxy228故M点的速度大小为wRvvvyx222其方向余弦为cos(,)cos2xvvvicos(,)sin2yvvvjxtRvaxx2242sin4ytRvayy2242cos4故M点的加速度大小为2224wRaaayx且有2222444()4xyxyaijijrABMOxy2vxvyva29MMRo例6半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，，试分析轮子边缘一点M的运动。tw30此处有影片播放31解：取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为)cos1(cosROMOCy这是旋轮线的参数方程。oRCAxyMM点的速度和加速度为：jtRitRjyixv)sin()cos1(-当M点与地面接触，即时，M点速度等于零。k2jtRitRjyixa)cos()sin(22)sin(sinROMACx32如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。§5.2刚体的平移33摆式输送机的料槽（曲线平移）直线行驶的列车车厢（直线平移）34yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。平行移动刚体内各点的速度和加速度BArrBABAvvBAaa35在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。§5.3刚体的定轴转动3637固定平面A与动平面B间的夹角称为刚体的转角。转角是一个代数量，它确定了刚体的位置，用弧度(rad)表示。逆时针为正顺时针为负符号规定：自z轴的正端看去，1.转角和转动方程转角是时间t的单值连续函数，即()ft这就是刚体绕定轴转动的运动方程。一、转动方程、角速度和角加速度38转角