范德蒙行列式及其应用

1目录摘要及关键词………………………………………………………（1）一、范德蒙行列式…………………………………………………(1)(一)范德蒙行列式定义………………………………………(1)(二)范德蒙行列式的推广……………………………………(4)二、范德蒙行列式的相关应用……………………………………(8)(一)范德蒙行列式在行列式计算中的应用…………………(8)(二)范德蒙行列式在微积分中的应用………………………(14)(三)范德蒙行列式在多项式理论中的应用…………………(19)(四)范德蒙行列式推广的应用………………………………(21)三、结束语…………………………………………………………（22）四、参考文献…………………………………………………………（23）2范德蒙行列式及其应用摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。关键词：范德蒙行列式、行列式TheDeterminantofVandermondeandItsApplicationYuping-Xiao(DepartmentofMathematicsBohaiUniversityJinzhou121000China)Abstract:HigheralgebratextbookeditioninBeijingUniversity,thedeterminantisnotonlyanimportantpointbutalsoadifficultpoint,itisafoundationoflearninglinearequations,matrices,vectorspaceandlineartransformation,itplaysanimportantrole.Andthecalculationofdeterminanthasacertainregularityandskills,itcanbeappliedinmanyareasatthesametime.Thispaperwillbethroughthecalculation,expansionandproveofanbandVandermondedeterminant,anddiscussthecalculationofdeterminant,therelevantapplicationinthecalculusandmultinomialtheory,thenstudysomeexamplesaboutthedeterminantofVandermonde,andacquiresomemethodsandskillsofdeterminantcalculation,ThiswillhelpusbetterusethedeterminantofVandermondetosolvetheproblems.Keywords:theVandermonderdeterminant;determinant一、范德蒙行列式(一)范德蒙行列式定义定义1[1]关于变元1x,2xnx的n阶行列式122221211112111nnnnnnnxxxDxxxxxx(1)叫做1x，2xnx的n阶范德蒙行列式。下面我们来证明对任意的n(2n),n级范德蒙行列式等于1x，2xnx这n个数的3所有可能的差ijxx（1jin）的乘积。我们对n作归纳法：当2n时，1211xx=21xx结果是对的。设对于1n级的范德蒙行列式结论成立，现在来看n级的情形。在（1）式中，第n行减去第1n行的1x倍，第1n行减去第2n行的1x倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的1x倍，有213112222123131121212212313121311222212313112121221231311111000nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxdxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx=(21xx)(31xx)(1nxx)232222322223111nnnnnnxxxxxxxxx后面这行列式是一个1n阶的范德蒙行列式，根据归纳法假设它等于所有可能差ijxx(2)jin的乘积，而包含1x的差全在前面出现了，因此，结论对n级范德蒙行列式也成立，根据数学归纳法，完成了证明。用连乘号，这个结果可以简写为1222212111112111()nnijjinnnnnxxxxxxxxxxx(二)范德蒙行列式的推广4定义2推广的范德蒙行列式12123(,,)iinVxxxx=11112122212122121111122312111111111000000nniniininininininnininixxxAxxxAxAxxxAxAxAx22111222211223121212000000iniinininininiAAxAAxAxAx其中12iii,0(1,2)jij;121,,(1,2)jjjrrrnjjjAAAri分别表示关于jx(1,2)j所在的列元素求jr各阶导数的系数。定理1212121121123121212121123(,,)(,)!!()()()iiiinniiinnppjjppVxxxxVxxxjjxxxxxx证明（一）将12123(,,)iinVxxxx的第11,2nnni列分别提取11!,2!,3!!i及11121,2,nininii分别提取21!,2!,3!!i得行列式记为mV，并记nim,即：1212121231211(,,)!!iiiinmjjVxxxxjjV其中112212222111221221111112231223121111111212121110000001001001010nmnimiimimmmmmmmnmmmmmmxxxVxxxCxCxxxxCxCxCxCxCxCx（二）将mV的第1,22,1mm行各乘以1,x然后分别加到第,1mm53,2行，并按第一列展开得到一个1m阶行列式，记为1mV即：21311112213311211222112222213311321321222112223221331112112110()()()()1()()()()()()()()()()nnnmnnmmmmmnnmmmmxxxxxxxxxxxxxxxCCxVxxxxxxxxxCCxCCxxxxxxxxxxCCxCCx11122211221111213221232211121132241211222122121221201000000()0()()()()miimiiinimmmmmmmmmmCxCxCxCxxCxCxVCCxCxCxCxCxxCxCxx（三）将1mV的第1，2，1n列分别提取21311(),()()nxxxxxx等因子，又因为第1n列到第11ni列中1111llqqqCCC（其中,ql为2，3,1m），则1112()nmpmpVxxV其中1123122221123121112222132312121111100100nmnimimmmmmnmmxxxxVxxxxCxxxxxCxCx2222112211112232212322112121323241222122121221210010()0iniinimmmmmmmmmmCxCxCxCxxCxCxCxCxCxCxxCxCxx1mV的第1ni列减去第一列并提取因子21()xx，得第1ni列为：113222221(0,1,,)(()mTmCxCxxx作为公因子提到行列式外）再把该列乘以-1加到第11ni列上去，得到第11ni列为：212213243222112221224212212(0,0,(),())(0,0,,())mmTmmmmTmCCxCxCCxCxxxxCxxx=242122()(0,0,1)mTmxxCx6再将第11ni列乘以-1加到第12ni列，得第12ni列为3243521122212(0,0,0,,())mmTmmmxxCCxCxx=352122()(0,0,0,1,)mTmxxCx这样一直进行到第1211niim列（共2i次）。同时还将第n列依次与第2,1,2,1nn列互换，则此时：2111212(1)()()ninmppVxxxx11221222211112212211122213241324122121212222221110000001001001010nnimiimimmmmmmmnmmmmmmxxxxxxCxCxxxxCxCxCxCxCxCx=2121112111232(1)()()(,,)niiinpmnpxxxxVxxxx=212112111232()()(,,,)niiipmnpxxxxVxxxx*(四)反复利用*式得221221121121212322()()()()(,,,)nniiiimppmnppVxxxxxxxxVxxxx=22122212121232()()(,,,)niiipmnpxxxxVxxxx==112211211232()()(,,,)iniiipminpxxxxVxxxx(五)仿照前面（二）mV的变换，将1miV的第111,2,2,1mimi行乘以2x，然后分别加到第11,1,3,2mimi行，并按第2列展开得到一个11mi阶行列式11miV，此时11miV的第一列含公因子（12xx），而第2列至第n列分别含公因子（2pxx）（其中3,4,pn），而展开时711miV前面已含有一个负号，故可将该负号乘进第一列使其含21()xx这个公因子，此时只要仿照前面（三）的变换，221122112322112332211233(,,,)()()(,,,)()()(,,,)niiminpminpinipnnpVxxxxxxxxVxxxxxxxxVxxxx故112121212312121112(,,,)(,,)!!()iiiniinnpjjpVxxxxVxxxjjxx2112113()()inippxxxx同理可证明其推论312123(,,,)niiiinVxxxx1111121122211122122111112121211111211100000nniniininininininnininixxxAAxxxAxAxxxxAxAxAx221112111212110000000nnniniiiniininininninAAxAxAxAx=121211211212121211123(,,)!!!(