2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知集合{||2}AxRx},{|4}BxZx,则AB(A)(0,2)(B)[0,2](C){0,2](D){0,1,2}(2)已知复数23(13)izi，z是z的共轭复数，则zz=(A)14(B)12(C)1(D)2(3)曲线2xyx在点(1,1)处的切线方程为(A)21yx(B)21yx(C)23yx(D)22yx(4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为tdπ42OABCD(5)已知命题1p：函数22xxy在R为增函数，2p：函数22xxy在R为减函数，则在命题1q：12pp，2q：12pp，3q：12pp和4q：12pp中，真命题是（A）1q，3q（B）2q，3q（C）1q，4q（D）2q，4q(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(A)100（B）200(C)300（D）400(7)如果执行右面的框图，输入5N，则输出的数等于(A)54（B）45(C)65（D）56(8)设偶函数()fx满足3()8(0)fxxx，则{|(2)0}xfx(A){|24}xxx或(B){|04}xxx或(C){|06}xxx或(D){|22}xxx或(9)若4cos5，是第三象限的角，则1tan21tan2(A)12(B)12(C)2(D)2(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A)2a(B)273a(C)2113a(D)25a(11)已知函数|lg|,010,()16,10.2xxfxxx若,,abc互不相等，且()()(),fafbfc则abc的取值范围是(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)(12)已知双曲线E的中心为原点，(3,0)P是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(12,15)N,则E的方程式为(A)22136xy(B)22145xy(C)22163xy(D)22154xyS=S+1k(k+1)输入N否结束输出Sk=k+1k=1,S=0开始kN是第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)设()yfx为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1fx，可以用随机模拟方法近似计算积分10()fxdx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,Nxxx…和12,,Nyyy…，由此得到N个点(,)(1,2,)iixyiN…,，再数出其中满足()(1,2,)iiyfxiN…,的点数1N，那么由随机模拟方案可得积分10()fxdx的近似值为。(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）(15)过点(4,1)A的圆C与直线10xy相切于点(2,1)B，则圆C的方程为____(16)在△ABC中，D为边BC上一点，12BDDC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为33，则BAC=_______三，解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．（17）（本小题满分12分）设数列na满足21112,32nnnaaa（1）求数列na的通项公式；（2）令nnbna，求数列的前n项和nS(18)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD∥，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PEBC（2）若60APBADB，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值(19)(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：22()()()()()nadbcKabcdacbd2()PKk…0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（20）（本小题满分12分）设12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，过1F斜率为1的直线l与E相交于,AB两点，且22,,AFABBF成等差数列。（1）求E的离心率；（2）设点(0,1)P满足PAPB，求E的方程（21）（本小题满分12分）设函数2()1xfxexax。（1）若0a，求()fx的单调区间；（2）若当0x时()0fx，求a的取值范围请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧ACBD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）ACE=BCD；（Ⅱ）2BC=BE×CD．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线1C：1cossinxtyt(t为参数)，圆2Ccossinxy（为参数）．（Ⅰ）当=3时，求1C与2C的交点坐标：（Ⅱ）过坐标原点O做1C的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()fx=241x．（Ⅰ）画出函数()yfx的图像：（Ⅱ）若不等式()fxax„的解集非空，求a的取值范围2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案1．【解析】{||2,}{22}AxRxxRx，{|4}{016}BxZxxZx，故{0,1,2}AB．应选D．2．【解析】2331311(3)(13)(3)284(13)22313iiiziiiiii111(3)(3)444zzii．应选A．另解：由222332122(13)13iizii可得214zzz．3．【解析】由2122xyxx可得122,2,12(1),21(2)xykyyxyxx应选A．4．【解析】通过分析可知当0t时，点P到x轴距离d为2，于是可以排除答案A,D，再根据当4t时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0,排除答案B，应选C．5．【解析】：1p：函数22xxy在R为增函数为真命题，而函数22xxy为偶函数，则22xxy在R不可能为减函数，2p：函数22xxy在R为减函数为假命题，则1p为假命题，2p为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C．6．【解析】由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即~(1000,0.1)B,而2X，则2210000.1200EXE．应选B．7．【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111101223344556S111111111151122334455666，应选D．8．【解析】当0x时，则0x，由偶函数满()fx足3()8(0)fxxx可得，()()fxfx38x，则()fx=338(0)8(0)xxxx，(2)fx33(2)8(2)(2)8(2)xxxx令(2)0fx，可解得4,0xx或．应选B．另解：由偶函数满()fx足3()8(0)fxxx可得3()()8fxfxx，则3(2)(2)28fxfxx，要使(2)0fx，只需3280,22xx，解得4,0xx或．应选B．9．【解析】由4cos5，是第三象限的角可得3sin5．311tancossin1sin152224cos21tancossin2225，应选A．另解：由4cos5，是第三象限的角可得3sin5．3sinsin52tan3421coscos125，1tan13121321tan2．10．【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，则其外接球的半径为2227()()22sin6012aaRa，球的表面积为222774123aRa，应选B．11．【解析】作出函数()fx的图象如右图，不妨设abc，则1lglg10(0,1)2abc则(10,12)abcc．应选C．12．【解析】由双曲线E的中心为原点，(3,0)P是E的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)xyabab，设1122(,),(,)AxyBxy，即2222112222221,1xyxyabab则22121222121212015115312yyxxbbxxayya，则22225,5,44bbaa，O11210xy故E的方程式为22145xy．应选B．13．【解析】：由题意可知101()1fxdxNN得110()NfxdxN，故积分10()fxdx的近似值为1NN．14．【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等．15．【解析】设圆的方程为222()()xaybr，则2222221(4)(1),(2)(1),1,2babrabra解得3,0,2abr，故所求圆的方程为22(3)2xy．16．【解析】由△ADC的面积为33可得13sin603322ADCSADDCDC31(33)sin22ABCSABACBAC解得232DC,则31,333BDBC．2222cos120ABADBDADBD24(31)2(31)6,6AB22222cos6044(31)4(31)24123ACADCDADCD6(31)AC则222cos2BAACBCBACABAC6241239(423)63612266(31)12(31)故60BAC．三、解答题（17）【解析】（Ⅰ）由已知，当n≥1时，111211[()()()]nnnnnaaaaaaaa21233(222)2nn2(1)12n。而12,aABDC所以数列{na}的通项公式为212nna。（Ⅱ）由212nnnbnan知35211222322nnSn①从而22nS=357211222322nn②①-②得(212)nS=35212122222nnn．即nS=211[(31)22]9nn（18）【解析】以H为原点，,,HAHBHP分别为,,xyz轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标