2013杭州市高三数学复习研讨会之关注学科特点 把握数学本质(萧山中学翁利帅)

关注学科特点把握数学本质浙江省萧山中学翁利帅高三数学复习的做法与体会数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学．高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性是数学的特点．数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心．数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体，数学的研究对象和特点体现在数学考试中就形成了数学考试的学科特点，数学学科的特点是高考数学命题的基础，因此，关注学科特点，把握数学本质在数学学习和高考备考中十分重要，必须引起高度的重视。高考复习的关键一、夯实基础二、梳理通法三、建立联系抓知识本质用本质解题建本质结构数学本质一、夯实基础（抓知识本质）1、对基本数学概念的理解._____.20]),0[(sin10的取值范围是一个函数的图像，则都是，曲线若对于每一个旋转角得到曲线）（向旋转角的图像绕原点顺时针方、将函数文CCxxy（2011温州二模）（2011江西八校）已知点),(baM在由不等式组2,0,0yxyx确定的平面区域内，则点),(babaN所在的平面区域的面积是____________一、夯实基础（抓知识本质）2、对数学思想方法的把握公开课《函数图象变换》①平移变换：y＝f(x)y＝f(x＋a)（y＝f(x)＋a）②伸缩变换：y＝f(x)y＝af(x)（y＝f(ax)(a0)）③翻折变换：y＝f(x)y＝|f(x)|（y＝f(|x|)）④对称变换：y＝f(x)y＝f(－x)（y＝－f(x)或y＝－f(－x)或)2(xafy）②伸缩变换：y＝f(x)y＝f(ax)(a0))(xfy),(00yxP)(axfy),(00yaxP对应（本质）2．对数学思想方法的把握这节课讲的是函数图象变换，函数图象本身就是由点构成的集合，抓住点的变化就抓住了图象的特征。两个关联的函数图象的变换方式，就是图象上任意两个对应点之间满足怎样的对应关系。所以图象变换的实质就是寻找两个图象上任意一对对应点的关系。一、夯实基础（抓知识本质）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则ACBD＝A．b2－a2B．a2－b2C．a2＋b2D．ab2121)cos(cosyyxxbababababa数量积：二、梳理通法（用本质解题）ABCDab（2013浙江调研）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则ACBD＝A．b2－a2B．a2－b2C．a2＋b2D．ab22222)()()(abABBCABbABACbABDCABADADABADDCADBDAC解法一：0,22babaaaABCDab（2013浙江调研）cosbaba思路一：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则ACBD＝A．b2－a2B．a2－b2C．a2＋b2D．ab22)(abABABADADABACADACABADACBDAC解法二：（2013浙江调研）ABCDab)cos(baba思路二：ABDCxOy222222)cos(cos4)2cos2(cos2)2sin2sin,2cos2(cos)0,2(,cos2,cos2)2sin,2cos(),2sin,2cos(abRRRRBDACRbRaRRBRRD解法三：让学生养成从概念本质出发思考问题、解决问题的习惯，加强深化和拓展，形成通法。如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则ACBD＝A．b2－a2B．a2－b2C．a2＋b2D．ab（2013浙江调研）2121yyxxba思路三：已知函数xaxxfln)(，其中a为常数，设e为自然对数的底数.⑴当1a时，求)(xf的最大值；⑵若)(xf在区间（0，e］上的最大值为3，求a的值；⑶当1a时，试推断方程()fx=ln12xx是否有实数解.(2)axxxfln)(,所以aaxaxxf11)(（2013高三上期中杭州地区七校联考）导数最大值单调性①若a≥1e，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数∴max()fx=f（e）=ae+1≥0.不合题意三、建立联系（建本质结构）1、纵向结构②若a1e，则由f′(x)01ax0，即0x1a由f(x)01ax0，即1ax≤e.从而f(x)在10,a上增函数,在1,ea为减函数∴max()fx=f1a=-1+ln1a令-1+ln1a=-3，则ln1a=-2∴1a=2e，即a=2e.∵2e1e,∴a=2e为所求导数单调性极值最值恒成立有解(几个)任意、存在图象三、建立联系（建本质结构）《导数在研究函数中的应用》1、纵向结构单调性三、建立联系（建本质结构）1、纵向结构22．（2011浙江高考理）设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.(1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0，3e]，恒有f(x)≤4e2成立.(2)①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f(x)≤0＜4e2成立．②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f(3e)＝(3e－a)2ln(3e)≤4e2，解得2eln(33e3e)ea－＋2eln(3e).由(1)知()(2ln1)fxxaxax＝－＋－，令h(x)＝2lnx＋1－ax，则h(1)＝1－a＜0，h(a)＝2lna＞0，且2e3e+ln(3e)3e2ln3e12ln3e133eahe＝＋－＋－132l(ln3n3e)0e＝－.又h(x)在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h(x)在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x0，则1＜x0＜3e，1＜x0＜A．从而，当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.即f(x)在(0，x0)内单调递增，在(x0，a)内单调递减，在(a，＋∞)内单调递增．所以要使对]3,1(ex恒成立，只要22202004)3ln()3()3(4ln)()(eeaeefexaxxf成立已知c是双曲线)0,0(12222babyax的半焦距，则acb的取值范围是A．)21,1(B．)1,2(C．),1(D．)0,1(问题的实质：0,0,0cba，222cba，求acb的取值范围（2013浙江嘉兴文）一种思想：函数与方程两种思路：（字母）减元（参数）换元一种意识：减少元素2、横向联系0,0,0cba，222cba，求acb的取值范围思路一：（字母）减元222)(1ababababacb，设)0(,1)(2ttttf解法一：011)(22ttttf，)(tf在),0(上递增，所以，,0t1)(tf；,t0)(tf解法二：22111)(tttttf，)(tf在),0(上递增，下同解法一。0,0,0cba，222cba，求acb的取值范围思路一：（字母）减元解法三：22222)(bcbcbccbacb)10(,11211cbcbcbcb)0,1(0,0,0cba，222cba，求acb的取值范围思路二：（参数）换元解法四：设)2,0(,cos,sincacb，则cos1sinacb，)1,0(),sin,(cosBA解法五：设)2,0(sin,coscacb，则)0,1(2tan2cos2sin22sin2sin1cos2acbOxyAB设yx,为实数，若1422xyyx，则yx2的最大值是_______（2011浙江高考）联系一：不等式转化解法一：4)2(231223131)2(22yxyxxyyx所以，5102258)2(2yxyx解法二：xyxyxyyxxyyx441,31)2(222所以51xy，5102258)2(2yxyx设yx,为实数，若1422xyyx，则yx2的最大值是______联系二：二次曲线方程类似问题：设yx,为实数，若1422yx，则yxt2的最大值是________一、问题转化解法三：1)2(41542222xyxxyyx，)2(232xyxyx解法四：1)2()215(42222xyxxyyx，)2(2151532xyxyx（2011浙江高考）二、方法迁移解法五：设yxt2，将xty2，代入可得1)2()2(422xtxxtx，化简可得013622ttxx，0，解得51025102t浙江省萧山中学翁利帅