第三章 多维随机变量及其分布

3-1第三章多维随机变量及其分布§3.1多随机变量及其联合分布内容概要1.n随机变量如果)(,),(),(21nXXX是定义在同一个样本空间}{上的n个随机变量,则称)(X))(,),(),((21nXXX为n随机变量,或n元随机变量,或随机向量.2.联合分布函数对任意的n个实数nxxx,,,21,称),,(),,,(221121nnnxXxXxXPxxxF为n维随机变量),,,(21nXXX的联合分布函数.二维随机变量),(YX的联合分布函数),(),(yYxXPyxF具有如下四条基本性质:(1)单调性),(yxF分别对x或y是单调不减的.1212,(,)(,)yRxxFxyFxy?蓿1212,(,)(,)xRyyFxyFxy?蓿(2)有界性对任意的x和y,有1),(0yxF,且,0),(),(),(FxFyF1),(F(3)右连续性对每个变量都是右连续的,即),,(),0(yxFyxF),()0,(yxFyxF.(4)非负性对任意的dcba,有0),(),(),(),(),(caFcbFdaFdbFdYcbXaP.可以证明:具有上述四条性质的二元函数),(yxF一定是某个二维随机变量的分布函数.3-23.联合分布列如果),(YX只取有限个或可列个数对),(iiyx,则称),(YX为二维离散随机变量,称,2,1,),,(jiyYxXPpjiij为),(YX的联合分布列,联合分布列也可用如下表格形式表示:1212111212122212iYXjjjiiijpppppppppyyyxxxLLMLLLLMMMMMLLLLLLLL联合分布列的基本性质:(1)非负性:;0ijp(2)正则性:.111ijijp4.联合密度函数如果存在二元非负函数),(yxp,使得二维随机变量),(YX的分布函数),(yxF可表示为xydvduvupyxF,),(),(则称),(YX为二维连续随机变量,称),(yxp为),(YX的联合密度函数.联合密度函数的基本性质:(1)非负性:0),(yxp,(2)正则性:1),(dxdyyxp(3)在),(yxF偏导数存在的点上有).,(),(2yxFyxyxp(4)G为平面上的一个区域,则有.),()),((GdxdyyxpGYXP5.多项分布在n次独立重复试验中,如果每次试验有r个可能结果:nAAA,,,21,且每次试验中发生的概率为(),1,2,,.iipPAir121.rppp记iX为n次独立重复试验中iA出现的次数,.,,2,1ri则),,,(21rXXX服从多项分布,又称r项分布,记为),,,,(21rpppnX,其联合分布为3-3,!!!!),,,(2121212211rnrnnrrrpppnnnnnXnXnXP其中rnnnn21.当2r时,即为二项分布.6.多维超几何分布有N个对象,共r分类,其中第i类对象有iN个,N=N1+N2+…+Nr,从中随机取出n个,若记iX为取出的n个对象中第i类对象的个数,ri,,2,1,则),,,(21rXXX服从r维超几何分布,其联合分布列为12221122(,,,),rrrrNNNnnnPXnXnXnNn其中.21nnnnr7.多维均匀分布设D为Rn中的一个有界区域，其度量(平面上为面积，空间为体积等)为SD，如果多维随机变量(X1，X2，…，Xn)的联合密度函数为其他，,0,),,,(,1),,,(2121DxxxSxxxpnDn则称(X1,X2,…,Xn)服从D上的多维均匀分布，记为(X1，X2，…，Xn)～U(D).8.二元正态分布如果二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为2211222222112212()()()()11(,)exp2,2(1)21xxyypxyp禳轾镲----镲犏=--+睚犏镲--镲臌铪,,yx则称(X,Y)服从二元正态分布,记为(X,Y)～N).,,,,(222121其中E(X)=,1E(Y)=,2Var(X)=,21Var(Y)=,22-1.13-4习题与解答3.11.一批产品中有一等品50%,二等品30%,三等品20%.从中有放回地抽取5件,以X、Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数,求(X,Y)联合分布列.解这是一个三项分布,若取出的5件中有i件一等品、j件二等品,则有ji5件三等品,所以当5,5,1,0,5,,1,0jiji时,有55!(,)(0.5)(0.3)(0.2).!!(5)!ijijPXiYjijij用表格形式表示如下：XY012345行和00.000320.002400.00720.01080.008100.002430.0312510.004000.024000.05400.05400.020250.000000.1562520.020000.090000.13500.06750.000000.000000.3125030.050000.150000.11250.00000.000000.000000.3125040.062500.093750.00000.00000.000000.000000.1562550.031250.000000.00000.00000.000000.000000.03125列和0.168070.360150.30870.13230.028350.002431.00000注：行和就是X的分布B(5,0.5),列和就是Y的分布B(5,0.3)4.设随机变量Xi,i=1,2的分布列如下，且满足P(X1X2=0)=1,试求P(X1=X2)Xi-101P0.250.50.25解记(X1,X2)的联合分布为X2X1-101-1p11p12p130p21p22p231P31p32P33由P(X12X=0)=1知：12212223321ppppp,311311ppp033p.即X2X1-101-10p1200p21p22p2310p320又因为0.25=P(11X)=P(1,121XX)+P()1,1()0,12122XXPXX=,12131211pppp3-5同理由25.0)1()1()1(221XPXPXP,即可知,25.0232132pppX2X1-101-100.25000.25p220.25100.250又有分布列的规范性得p22=0，于是(X1,X2)的联合分布列为X2X1-101-100.25000.2500.25100.250从而P(X1=X2)=p11+p22+p33=05.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为(6)02,24(,)0其它kxyxypxy试求：(1)常数k;(2));3,1(YXP(3));5.1(xP(4)).4(YXP解(1)由202)26()6(xkdxdyyxkkdx=8k=1,解得.8/1k(2).83)5.3(81)6(81)3,1(101022dxxdxdyyxYXP(3)5.105.1042.3227)26(81)6(81)5.1(dxxdydxyxXP(4)的阴影部分，的交集如图的非零区域与1.3}4{),(yxyxp由图3.1可得xOx+y=4y422图3.13-62422020112()4(6)0.546).883（xPXYxydydxxxdx6.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为.,0,0,0),()43(其他yxkeyxpyx试求：(1)常数；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y);(3)P(0X20,1Y)解(1)由(34)340000111,12.3412xyxykkedxdykedxedykk时，有或当002yx0，；Fxy,0,0时而当yx12342100,12xyttFxyedtt=12yxytxteedtedte432041031121,所以其他。0,0,011,43yxeeyxFxx.9499.012,120,1031183eeeFYXP7．设二维随机变量的联合密度函数为401,01,0其它xyxypxy试求0.5100.25100.5,0.251;2;3();4,.11515100.5,0.2514483264联合分布函数解PXYPXYPXYXYPXYxdxydy20PXY11120011342(1)1;22xPXYdxxydyxxdx4,,5的联合他分布函数要分如下个区域表示XYFxy101012211001221010122100122144440,dtdtttdtdtttdtdtttdtdtttdxdyyxFyxxyxy=1,1110,11,1010,100,002222yxyxyyxxyxyxyx或8．设二维随机变量的联合密度函数为YX,3-7其它010,2xyxkyxp5.05.02;1YPXPk和求试求常数解()1(,)3.2().pxya的非零区域如图阴影部分由16101022kdxxxkdydxkxx解得k=6215.0131216665.0,)(2.35.0,23215.015.022xxdxxxdydxXPbxyxpxx所以阴影部分的交集为图非零区域与又因为所以的阴影部分的交集为图的非零区域与事件,)(2.35.0,cyyxp5.005.006642.0432665.0yydyyydxdyYP9.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为其它010)1(6,yxyyxp10.5,0.5;20.50.5;31求求和求PXYPXPYPXY解：所以的阴影部分的交集图为的非零区域与,)(3.35.0,5.0,1ayxyxp15.05.0165.0,5.0ydxdyyYXP=6815.05.115.02dyyyy=x2O11yxy=x(a)y=x2O1yx(b)y=x0.5y=x2O1yx(c)0.5y=x图3.23-8所以阴影部分的交集为为图的非零区域与,)(3.35.0,2bxyxp.87)2121(6)1(65.05.0015.002dxxxdydxyxPx又因为P(x,y)的非零区域与{y0.5}的交集为图3.3(c)阴影部分，所以.21)8321(6)1(6)5.0(5.0025.005.0dxxxdydxyYPx(3)p(x,y)非零区域与{x+y1}的交集为图3.3(d)阴影部分，所以P(X+Y1)=.43)21(6)1(65.005.001dxxdydxyXX10.设随机变量Y服从参数为λ=1的指数分布，定义随机变量kX如下:yx0.50.5O(a)11yx0.5O(b)11yx0.5O(c