易错题之韦达定理

韦达定理知识点及综合应用一元二次方程根与系数的关系:若方程02cbxax(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1+x2=_____，x1x2=_____若一个方程的两个根为m，n，那么这个一元二次方程为_________韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b4ac0。根与系数的关系的应用：应用之一：不解方程求方程的两根和与两根积：下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【】A．a=﹣3，b=1B．a=3，b=1C．3a=2，b=﹣1D．3a=2，b=1应用之二：不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；请判断1和-4是不是x2+3x-4=0的两个根应用之三：判断两根的符号或判断两根的特殊关系。2.不解方程，判别方程2x2+3x-7=0两根的符号。3.已知方程01212mxmx，当m=时，方程两根互为相反数；当m=时，方程两根互为倒数.【-1，1】4.当k___________时，方程0152222kxkkx的两根互为相反数.【-2】5.若方程022mxx有两个正根，则m的取值范围是（）A、0＜m＜1B、m＞1C、-1≤m＜0D、m＜-1【C】6.已知方程034222mxmx，根据下列条件求m的取值范围或值.①方程两根互为相反数【-2】②方程有两个负根【m＞43】③方程有一个正根、一个负根【m＜43】应用之四：已知方程的一个根，利用韦达定理求出另一个根及参数的值。7.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0的一个根为2，求另一个根及m的值。应用之五：求两根代数式的值：五-1、在不解方程的情况下，可利用韦达定理求两根代数式的值（一般是对称式）。①2+2=（+）2-2②（-）2=（+）2-4③∣-∣=2=42④11⑤22222222211⑥22228.已知、为一元二次方程2x2-6x+3=0的两根，求下列各式的值①（-）2②11③2211五-2、运用方程根的意义及韦达定理求两根代数式的值。9.已知、是方程的两个实数根，求22的值。10.已知、为方程0722xx的两个实数根，求4322的值.【32】11.已知x1、x2是方程2x09x的两个实数根，求代数式663722231xxx的值.【16】（2015•山东日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=2026五-3.构造一元二次方程求值14.已知实数、满足0122，01222，求的值.（2015•四川）已知实数m，n满足，，且，则=．【答案】12.已知实数525222，，，求22的值.1013.已知，mm0152202512nn且m≠n，求nm11的值.解：∵02512nn∴，nn01522又∵m≠n，∴可以把m、n看作是方程01522xx的两不等根，∴m+n=25、mn=21∴nm11=5mnnm设242a2a10b2b10，，且1－ab2≠0，则522ab+b3a+1a=-32应用之六：已知两根关系式的值，求参数（注意：当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0。具体运用时，可先求出字母的值，再来检验△）15.已知方程2x2+4x+m=0的两根的平方和为34，求m的值16.已知方程2x2+bx-2b+1=0的两根的平方和是429，则b的值是A、3B、-3或11C、-11D、3或-11已知方程x2+px+q=0的两根为p、q(q≠0)，则p=___、q=____已知12x,x是一元二次方程2(a6)x2axa0的两个实数根.（1）是否存在实数a，使1122xxx4x成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；a的值是24。（2）求使12(x1)(x1)为负整数的实数a的整数值.a的整数值有12，9，8，7。应用之七：求作新方程：已知方程的两个根，可利用韦达定理求作新方程。x2-(x1+x2)x+x1x2=0求一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程2x+x1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。应用之八：勾股定理与之相结合。已知Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程2xm5x6m0的两个实数根。求m的值及AC、BC的长（BCAC）m=2，AC=3，BC=4。3.（2002江苏无锡9分）已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D．如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程22x3r2xr40的两个实数根．求：（1）AC、BC的长；（2）CD的长．应用之九、在二次函数中的应用：一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当y＝0时的情形，因此若干二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与ｘ轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。已知二次函数2yaxbxb(a0,b0))图象顶点的纵坐标不大于－b2．(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；(2)若该二次函数图象与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值．已知一元二次方程2axbxc0的两个实数根1x、2x满足x1＋x2＝4和x1•x2＝3，那么二次函数2yaxbxca0的图象可能是【】A.B.C.D4.（2011广东肇庆10分）已知抛物线223yxmxm(m0)4与x轴交干A、B两点。（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧：（2）若112OBOA3(O为坐标原点)，求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．应用之十：已知两数和与积，求之