第5章_控制系统的状态空间设计

第5章控制系统的状态空间设计—状态反馈及观测器的设计控制系统的分析：系统响应、能控性、能观测性、稳定性。控制系统的综合：经典控制理论和现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。经典控制理论中的反馈量：输出量。现代控制理论中的反馈量：输出量或输出量＋状态反馈。为了利用状态进行反馈，必须用传感器来测量状态变量，但并不是所有状态变量在物理上都可测量，于是提出了用状态观测器来给出状态估计值的问题。状态反馈及观测器的设计就构成了用状态空间法综合设计系统的主要内容。5.1线性定常系统常用反馈结构及其对系统性能的影响5.2状态反馈系统的极点配置5.3状态观测器的设计5.4带观测器的状态反馈系统的综合一.两种常用反馈结构(1)状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。5.1线性定常系统常用反馈结构及其对系统性能的影响以单输入-单输出系统为例，其状态空间描述为：)11.5(−⎩⎨⎧=+=CxyBuAxx&状态反馈控制规律为)21.5(−−=Kxvu)31.5()(−⎩⎨⎧=+−=CxyBvxBKAx&状态反馈K的引入，没有引入新的状态变量，也不增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。经过状态反馈后，系统的传递函数为：BBKAC[SIW1)]()(−−−=sk闭环特征多项式:())(BKA−−=Ifλλ(2)输出反馈输出反馈有两种形式，最常见的是将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控对象的控制输入。经典控制理论中所讨论的就是这种反馈。多输入-多输出系统的输出反馈系统的这种形式见教材P199图5.2所示。)11.5(−⎩⎨⎧=+=CxyBuAxx&输出反馈控制规律为)41.5(−−=yHvu()()())51.5(−⎩⎨⎧=+−=−+=−+=CxyBvxBHCAHCxvBAxHvBAxxy&由此可见,经过输出反馈后,闭环系统同样没有引入新的状态变量,仅仅是系统矩阵A变成了A-BHC。输出反馈的另一种形式是输出量乘以相应的系数反馈到状态微分处。⎩⎨⎧=−+=CxyHyBuAxx&)61.5()(−⎩⎨⎧=+−=CxyBuxHCAx&不管是状态反馈还是输出反馈，都可以改变系统矩阵A，但这并不表明两者具有等同的功能。输出反馈HC相当于状态反馈中的K，但是mn,故H可选择的自由度比K小，只相当于部分状态反馈，仅当C为n×n时，HC的作用才和K的作用相当。二.反馈结构对系统性能的影响由于引入反馈，系统状态的系数矩阵发生变化，对系统的能控性、能观测性、响应特性、稳定性等都有影响。(1)对系统能控性、能观测性的影响定理[5.1]状态反馈不改变受控系统的能控性，但却不一定能保持系统的能观测性。()∑0CB,A,1.加入状态反馈不影响系统的能控性证明：为简单起见，以单输入-单输出系统为例。原系统和状态反馈系统的能控性判别阵分别为：()∑0cb,A,()∑−kcbbk,,A[]bbbb1n2coAAAM−=L[]bbkbbkbbkbcK1n2)(A)(A)(AM−−−−=L())(bkbbbbk−=−AA这表明的列向量可以由的列向量的线性组合来表示。()bbk−A[]bbA()()()()()()的线性组合）bbbbAbkAbbkbbkbbbkbbkA,(AAAA2+=+−+=−−=−22222()()的线性组合）的线性组合）bbbbbbbbkbbk22AA,(AA,(AAA,][33+=+−=−()的线性组合）bbbbbbbknn2n2AAA,(AA−−−+=−,,,11LM[][]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡×××=−−−=−−111MOLLLLbbbbbbkbbkbbkbcK1n21n2AAA)(A)(A)(AM[][])71.5(−=−−−−−bbbbrankbbkbbkbbkbrank1n21n2AAA)(A)(A)(ALL表明，若原来系统能控，则加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也能控；若原来系统不能控，则无论用什么K阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不能控。这一性质称为状态反馈不改变系统的能控性。关于状态反馈不一定能保持系统的能观测性举一反例说明：[]⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xyuxx21101321&其能观测判别阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100214721CACMO原系统能观测a.引入状态反馈k=[３１]()[]⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+−=xyxx21100021CxvBvxbKA&⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121CACMOK其能观测判别阵：反馈系统不能观测b.引入状态反馈k=[01]()[]⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+−=xyxx21100321CxvBvxbKA&⎥⎦⎤⎢⎣⎡−→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=120212721CACMOK其能观测判别阵：反馈系统能观测这表明状态反馈可能改变系统的能观测性。[例5.1.1]设系统的状态空间表达式为:[]⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xyuxx21101321&试分析系统引入状态反馈K=[31]后的能控性和能观测性。解：容易验证原系统是能控又能观测的。引入状态反馈K=[31]后系统的状态空间表达式为：[]⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+−=xCxyvxvxBvxBKAx2110002110)13001321()(&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0120ABBMCK系统能控⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121CACMOK系统不能观测状态反馈不改变受控系统的能控性，但却不一定能保持系统的能观测性。这反映在传递函数上出现了零极点相消现象()∑0CB,A,经过状态反馈后，系统的传递函数为：[][]12)1(210102.)1(1.211002121)]()(11−=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=−−ssssssssssskBBKAC[SIW返回2．加入输出反馈不改变系统的能观测性，对系统的能控性的影响因输出反馈的位置不同而不同。定理[5.2]输出至参考输入反馈引入的输出反馈不改变受控系统的能控性和能观测性。()∑0CB,A,证明：因为这种输出反馈中的HC等效与状态反馈中的K，那么输出反馈也保持了受控系统的能控性不变。关于能观测性不变，可由能观测性判别矩阵（仍以单输入-单输出系统为例）。⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−1nAAMcccooM⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=−1nAAM)()(bhccbhcccoHM仿照定理[5.1]的证明方法，同样可以把看作经初等变换的结果，而初等变换不改变矩阵的秩，因此能观测性保持不变。OHMOOM定理[5.3]输出至状态微分反馈引入的输出反馈不改变系统的能观测性，但可能改变系统的能控性。()∑0CB,A,设系统的状态空间表达式为:[]⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xyuxx21101321&关于输出至状态微分反馈可能改变系统的能控性举一反例说明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0120ABBMC原系统能控1.引入图5.1所示输出反馈H=[12]T后的能控性。()[]⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+−=xCxyvxBvxHCAx21103100&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==3100~BABMCk输出反馈系统不能控2.引入图5.1所示输出反馈H=[01]T后的能控性。()[]⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+−=xCxyvxBvxHCAx21101221&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==1120~BABMCk输出反馈系统能控（2）状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性加入反馈，通过反馈构成的闭环系统成为稳定的系统，这个过程称为镇定。BvxBKAx+−=)(&BuAxx+=&对于Kxvu−=是渐进稳定的，即（A-BK）的特征值具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。返回极点配置方法在某种程度上类似与根轨迹法，它们都是把闭环极点配置在希望的位置上。它们的基本区别在于：根轨迹法只把主导极点配置到希望的位置，而极点配置设计是把所有闭环极点都配置到希望的位置。极点配置：就是通过选择反馈矩阵K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。这里需要解决两个问题：第一：极点可任意配置的条件；第二：确定极点配置所需要的K阵。5.2状态反馈系统的极点配置一.任意配置闭环极点的充分必要条件定理[5.4]教材P205定理[5.4]采用状态反馈使闭环系统的极点配置在任意位置的充分必要条件是受控对象完全能控。()∑0CB,A,二.极点配置的设计步骤P206第一步，判断系统是否完全能控，只有完全能控，才能任意配置极点,计算原系统的特征方程：()∑0CB,A,nnnnasasasAsI++++=−−−111]det[L[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−−−10110011212111aaaaaaBABBATnnnnLOOMMOMMOLLL其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=−−1000100001000010121MLLMMMMLLBaaaannnA∑0⎪⎩⎪⎨⎧===−−CTCBTBATTA11化为能控标准型：第二步，加入状态反馈阵，计算的特征多项式]11k,k,k[KL−=nn()KBA−()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−+−+−+−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=−−−−−−−112211*1*2*1*)()(100001000010100001000010)(kakakakaaaaaKBAnnnnnnnnnLLOOMMMLLLLMMMMLL)()()()](det[)(11111nnnnnnkaskaskasKBAsIf+++++++=−−=−−−Lλ第三步，由所给的n个期望特征值，计算期望的多项式nλλλ,,,21L()()()**11*121*)(nnnnnasasassssf+++=−−−=−−LLλλλλ第四步，比较两个特征值的系数，从中求出11,,kkknnL−第五步，把对应于的变换，得到对应于原状态x的反馈阵k。1Tkkkx−=，通过的[例5.2.1]教材P206[例5.2]某受控对象的传递函数为：)2)(1(10)(++=ssssW试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为-2，，闭环系统结构图见教材P207图5.12。11j±−解：①因为传递函数没有零、极点对消现象，所以受控对象是能控的。可以任意配置极点。[]xyuxx0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=&②加入状态反馈阵，计算的特征多项式]123k,k,k[K=()KBA−3221333222113)2()3()()()()](det[)(kskskskaskaskasKBAsIf+++++=++++++=−−=λ③由所给的期望特征值-2，，计算期望的多项式11j±−()()()464112)(23*+++=++−++=sssjsjssfλ④比较各项系数()()*λλff与⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=[phone]kkkkkk[][]144][123123==kkkkkk[例5.2.2]已知单输入线性定常系统的状态方程为：试设计状态反馈控制器K，使闭环系统的极点为-2，-1+j，-1-j。uxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=0011210061000&解：①系统的能控判别阵：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−==1006100012bAAbbcM原系统能控，可以任意配置极点。②由于原系统不是能控标准型，化为能控标准型。ssssssAsI7218121006100det]det[23++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−+−=−变换阵③加入状态反馈阵，计算的特征多项式]123k,k,k[K=()KBA−⎥⎥⎥⎦⎤⎢