优化模型与LINGO编程

891第一章经济中的数学模型1．1最大利润问题在经济学中，边际成本MC、边际收益MR，他们分别表示总成本)(qCC、总收益)(qRR对产量（销售量）q的导数。如果已知边际收益MR、边际成本MC、固定成本0C及获得最大利润的生产水平q，如何求最大利润？试给出数值计算的例子。假设：生产是产销平衡的。p----产品的单位售价；0c--产品的单位成本；q----销售量;R----总收入L----总利润；C----总成本模型：)()()(00pfcpfpLpfqqcpqCRL0)(')(')(00pfcppfpfdpdCdpdRdpdL---------------（1）最优的价格*p就是满足方程（1）的解。最大利润qpL*)max(说明：在经济学上，dpdC定义为边际成本MC、dpdR定义为边际收益MR；要获最大利润的条件是dpdCdpdR比如：bacpbpapf22)(0*对bpapf)(的解释是：a-----称为绝对需求量，即免费供应该产品时的社会需求量；b-----表示价格上涨（下跌）一个单位时销量下降（上升）的幅度，反映市场需求对价格敏感程度。1．2转售机器的最佳时间问题由于折旧等因素，某机器转售价格()Rt是时间t（周）的减函数，963()()4tARte元，其中是机器的最初价格。在任何时间，机器开动就能产生892484tApe的利润。问机器使用多长时间后转售出去能使总利润最大？这利润是多少？机器卖了多少钱？假设：（1）在T时间出售机器，当T=0时43)0(AR为机器的买入价；（2）总利润为L；（3）不考虑生产过程中的各种费用。模型：4343121243431243434)0()()(964896048964800AeAAAeAeAeAAeAdteARTRdttpLTTTTtTtTT机器买入价机器转售价生产利润32ln48,032,001284,4896489648TTeeTTeATeAdTdLTTTTT或或令驻点T=0不是最优解，T=48ln32是最优解（可以用二阶导数判断）利润的最大值AAAAAL321223360433223123212max机器卖出价ATR3223)(.1．3道格拉丝(Douglas)的经济增长模型发展经济，增加生产有两个重要因素，一是增加投资（扩大厂房，购买设备，技术革新等），二是增加劳动力。恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高，从而真正起到发展经济的作用，为此，需要分析生产量、劳动力和投资之间变化规律，从而保证经济正常发展。假设:在t时刻,企业的产量-----------------------------------------------Q(t)企业的劳动力------------------------------L(t)企业的投资金------------------------------K(t)企业中劳动生产率(每个劳动力占有的产量)----Z(t)定义:)0()()(QtQtRQ-------------企业产量的相对增长率(指数))0()()(LtLtRL-------------企业劳动力的相对增长率(指数)893)0()()(KtKtRK-------------企业投资金的相对增长率(指数)模型建立:(1)道格拉丝(Douglas)生产函数对于一个企业而言,指数)(),(),(tRtRtRKLQ的变化关系是关键,而不是绝对量Q(t),L(t),K(t).著名的经济学家Douglas理论:在正常的经济发展过程中,三种指数都是随时间增长的,Douglas从大量统计数据中发现如下规律:令)()(ln)(,)()(ln)(tRtRttRtRtKQkl则)(),(tt二者之间存在线性关系:)10(),()(tt根据Douglas理论,我们可得:)()(ln)()(lntRtRtRtRKLKQ0)0()0()0(,10(),()()())0()(())0()(()0()()()()(1111KLQhtKthLtQKtKLtLQtQtRtRtRKLQ)()()1()()()()()(ln)1()(lnln)(ln'''tKtKtLtLtQtQtKtLhtQ上式就是Douglas的经济增长模型,可以解释为:a)相对增长率(指数)KKLLQQ,,之间呈线性关系；b)当1时，产量的增长主要靠劳动力的增长，当0时，产量的增长主要靠投资金的增长；c)被称为产量对劳动力的弹性系数。（2）劳动生产率Z(t)增长的条件)()()()()()()()()(tLtLtQtQtZtZtLtQtZ则))()()()()(1()()(tLtLtKtKtZtZ上式解释为：提高相对劳动生产率的前提是投资的相对增长率大于劳动力的相对增长率。1．4经济指标的灵敏度分析894在经济问题中，灵敏度分析与边际效用具有相同的概念，即当某一变量指标发生微小变化时，目标函数的相应变化情况。一般的处理方法是：利用偏导数（微分），似乎没有什么困难。但问题是，目标函数必须是连续，可导的。下面我们要讨论一种用差分方法分析目标函数的灵敏度分析（边际效用）。G(x)F(x)fadcb设F(x),G(x)表示两种状态的单价函数，Y表示由F(x),G(x)在],[bat的最小费用。在cx时，bccadxxGdxxFY)()(min当一种状态的单价函数F(x)改变f时，对min(Y)的影响有多大？dxxFxGadffdxdxxFxGdxxGdxfxFdxxGdxxFycddacdbddabcca)]()([)()]()([)())(()()(显然：acfyadacfyadf)()(一般情况下，取1f（即一个价格单位），y的值可近似看作F(x)的灵敏度。1．5市场经济中的蛛网模型问题提出：在完全自由竞争的市场经济中，需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。这样的振荡会出现不同的形式，一种是振幅渐小趋向平稳（图1），另一种则是振幅越来越大导致经济崩溃（图2）。这就是所谓“蛛网模型”。建模目的就是讨论蛛网模型中经济趋于稳定的条件。fgfgpp895图1图2f需求曲线（是产量的函数），g供给曲线（是价格的函数）假设：（1）根据产品的生产周期，将时间离散化为时段序列；（2）第k时段中的商品价格记为,...4,3,2,1,kyk（3）第k时段中的商品数量记为,...4,3,2,1,kxk（4）需求曲线表示为：)(xfy；供给曲线表示为：)(xgy（5）平衡点),(00yxp，0,0),('1),('00则xgxf模型分析：1）第k时段，商品的价格ky，取决于商品的供应量kx，...4,3,2,1k2）第k+1时段，商品的生产量,1kx取决于上一时段的商品销售价格...4,3,2,1,kyk3）在平衡点),(00yxp的附近，可以将曲线gf,近似线性化。模型建立：根据上述分析，可建立下列递归方程：)2()()1()(00100yyxxxxyykkkk)()()()()()()(10100100011kkkkkkkkkkxxxxxxyyyyxxxxxx)()(.......)()(121212xxxxkkknkknkkknxxxxxx11121111)()()(nkknnnxxxx111211)(lim)(lim显然，只有当1||时，上式才收敛于11)(121xxx；同理：只有当1||时，11)()(lim)(lim121111211yyyyyyynkknnn896下面证明：00lim,limyyxxnnnn由方程（1）、（2）得：kkkkxxxxyyxyyxx)1()([0000000100001lim:lim)1(lim)1()1(yyxxxxxxxnnnnnnkk同理模型经济意义：1）经济能否趋于平稳),(00yxp的条件是1||；2）可见，|1|||，即在平衡点),,(00yxp需求曲线的斜率小于供应曲线的斜率；需求曲线f越平，供应曲线g越陡，越有利于经济稳定，反之正好相反；3）的数值反映消费者对商品的满意程度，当固定时越小，需求曲线越平，表示消费者对商品需求的敏感度越小，越利于经济稳定；当固定时越小，供应曲线越陡，表示生产者对价格的敏感程度越小，越利于经济稳定；当、较大，表示消费者对商品的需求和生产者对商品的价格很敏感，不利于经济的稳定。3）当市场经济不稳定时政府有两种干预办法：一种是使尽量小（极端情形是,0这时需求曲线呈水平，不管供给曲线如何，经济总是稳定的），这相当与政府调控物价；一种是使尽量小（极端情形是,0这时供给曲线呈水平，不管需求曲线如何，经济总是稳定的），这相当与政府调控商品数量；当供不应求时，即时组织从外地调货投放市场，当供过于求时，收购过剩的部分，维持上市数量不变。或政府发放救济金，拉动经济。1．6消费者均衡模型当一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时，分别用多少钱买甲和乙能得到最大的满意度。经济学上称这种最优状态为消费者均衡。Yf1yM2y897N1x2xX（一）消费者满意度设有两种商品X，Y，消费者对商品X拥有的数量分别为),(111yxp，消费者对商品Y拥有的数量分别为),(222yxp，如果拥有X，Y是同样满意的话，则称21,pp无差别。由所有与21,pp同满意度的点组成一条无差别曲线MN。（1）对X，Y是同样满意，可以理解为消费者对商品是愿意交换的，或愿以12yyy的Y商品与12xxx的X商品交换。（2）无差别曲线表示为Cyxf),(，是一族等高曲线，互不相交的。梯度f方向就是满意度越高的方向。是单调减函数，下凸的。（二）消费者均衡记X商品的单价-----1pY商品的单价-----2pX商品的数量-----1qY商品的数量-----2q当消费者对X商品，Y商品两种商品的数量21,qq具有同样满意度时，应该说这两种商品给消费者带来的效用是一样的，定义效用函数),(21qqu=C，是无差别曲线族。模型建立：消费者有S元钱，购买X商品，数量1q，Y商品，数量2q目标函数max),(21Cqqu约束条件Sqpqp2211S)-qpq(),(),(22112121pqquqqL00222111pquqLpquqL于是消费者均衡状态达到的条件是2121ppququ即两种商品的边际效用之比等于价格比。898（三）效用函数满足的条件：0,0,0,0,0,012221222221221qquqquququququ这时),(21qqu=C确定的一元函数)(12qfq在上述条件下是单调减（a），下凸的(b)。)(0)(02212222212112212212212121222112bqudqdqquqququdqdqqquququdqdqdqddqqdaququdqdq