专题9：嵌套函数相关问题的研究与拓展-(1)

2015届高三数学微专题研究讲义09好学生是自己悟出来的，不是老师教或评出来的！Copyright@2014byHemu1微专题9：嵌套函数相关问题的研究与拓展【问题提出】问题1：设函数2222,0(),0xxxfxxx，若(())2ffa，则a＝_______2变式：设函数f(x)＝22+0,0xxxxx，,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是__________.2a问题2：对于函数fx，若存在0xR，使00fxx成立，则称0x为fx的不动点．已知函数211,0fxaxbxba．（1）当1,2ab时，求fx的不动点；（2）若对任意实数b，函数fx恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．【探究拓展】探究1：若函数32()fxxaxbxc有极值点12,xx,且11(=fxx）则关于x的方程0)(2))((32bxafxf的不同实根个数是______．3变式1：设函数0,,0,sin2)(2xxxxxf，则函数1)]([xffy的零点个数为_______.4变式2：函数,0,00,11)(xxxxf方程0)()(2cxbfxf有7个根的充要条件是________,变式3：设定义域为R的函数0,44,0,15)(21xxxxxfx，若关于x的方程0)()12()(22mxfmxf有7个不同的实数解，则._______m2变式4：已知函数)(xfy和)(xgy在]2,2[的图象如下图表示：2015届高三数学微专题研究讲义09好学生是自己悟出来的，不是老师教或评出来的！Copyright@2014byHemu2给出下列四个命题：①方程0)]([xgf有且仅有6个根；②方程0)]([xfg有且仅有3个根；③方程0)]([xff有且仅有5个根；④方程0)]([xgg有且仅有4个根；其中正确命题的是__________(注：把你认为是正确的序号都填上).变式5：已知函数1)(xxf，关于x的方程0)()(2kxfxf，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为______①②③④______．探究2：定义在R上的函数lg22()1=2xxfxx，，,关于x的方程2()0fxbfxc有5个不同的实数根x1，x2，x3，x4，x5，则f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝________.变式1：已知函数f(x)＝2，x[0，1]x，x[0，1].则使f[f(x)]＝2成立的实数x的集合为.答案：{x|0x1,或x=2}变式2：已知定义在R上的函数]1,0[3]1,0[1)(xxxxf，则1)]([xff成立的整数x的取值的集合为．74310，，，，2015届高三数学微专题研究讲义09好学生是自己悟出来的，不是老师教或评出来的！Copyright@2014byHemu3变式3：（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数]3,1(,2329]1,0[,3)(xxxxfx，当]1,0[t时，]1,0[))((tff，则实数t的取值范围是.37[log,1]3变式4：设函数axxxf2)(2，若函数)]([xffy有且只有2个不同的零点，则实数a的取值范围为__________.251,251探究3：已知函数qxxxf2)(，RxxffxB,0))((.若B为单元素集，试求q的值.拓展1：已知0c，函数cxcxxf2)(，cxcxxxg23)(，如果函数)(xfy与函数))((xfgy有相同的零点，试求实数c的取值范围.变式：已知dcba,,,是不全为零的实数，函数2()fxbxcxd，32()gxaxbxcxd，方程0)(xf有实根，且0)(xf的实数根都是0))((xfg的根，反之，0))((xfg的实数根都是0)(xf的根.（1）求d的值；（2）若0a，求c的取值范围.拓展2：（12年江苏）已知a，b是实数，1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数()gx的导函数()()2gxfx，求()gx的极值点；（3）设()(())hxffxc，其中[22]c，，求函数()yhx的零点个数．探究4：定义：一般地，对于定义在区间D上的函数()yfx（1）若存在0xD,使得00()fxx,则称0x是函数()yfx的一阶不动点,简称不动点；2015届高三数学微专题研究讲义09好学生是自己悟出来的，不是老师教或评出来的！Copyright@2014byHemu4（2）若存在0xD,使00(())ffxx,则称0x是函数()yfx的二阶不动点,简称稳定点；若|Axfxx,|Bxffxx,两集合之间的关系如何？拓展1：（2009年上海交大自主招生）定义函数的不动点，当00()fxx时，我们称0x为函数()fx的不动点，若(())ffx有唯一不动点，则()fx也有唯一不动点.拓展2：（2010浙大自主招生）对于函数()fx，若()fxx，则称x为()fx的“不动点”；若()ffxx，则称x为()fx的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即|Axfxx，|Bxffxx.（1）求证：AB；（2）若21,fxaxaRxR，且AB，求实数a的取值范围；（3）若()fx是R上的单调递增函数，0x是函数的稳定点，问0x是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.解：（1）若A，则AB显然成立；若A，设tA，,fttfftftt，tB，故AB.（2）2,1Aaxx有实根，14a.又AB，所以2211aaxx，即3422210axaxxa的左边有因式21axx，从而有222110axxaxaxa.AB，2210axaxa要么没有实根，要么实根是方程210axx的根.若2210axaxa没有实根，则34a；若2210axaxa有实根且实根是方程210axx的根，则由方210axx，2015届高三数学微专题研究讲义09好学生是自己悟出来的，不是老师教或评出来的！Copyright@2014byHemu5得22axaxa，代入2210axaxa，有210ax.由此解得12xa，再代入得111042aa，由此34a，故a的取值范围是13,44.（3）由题意：x0是函数的稳定点,则00))((xxff，①若00)(xxf，)(xf是R上的单调增函数，则)())((00xfxff，所以)(00xfx，矛盾.②若)(00xfx，)(xf是R上的单调增函数，则))(()(00xffxf，所以00)(xxf，矛盾故00)(xxf，所以x0是函数的不动点.变式1：设函数()fxxa（aR）,若存在[0,1]b使(())ffbb成立，则a的取值范围是__________变式2：设函数axexfx)(（aR，e为自然对数的底数），若存在[0,1]b使(())ffbb成立，则a的取值范围是__________.变式3：设函数axexfx)(（aR，e为自然对数的底数），若曲线xysin上存在点),(00yx，使00))((yyff成立，则a的取值范围是__________拓展3：已知函数qxxxf2)(，RxxxffxB,))((.若B为单元素集，试求q的值.拓展4：能否给出不动点稳定点的几何意义？变式1：（2008年上海交大自主招生）已知函数2()(0)fxaxbxca，且()fxx没有实数根，(())ffxx是否有实数根？并证明你的结论.【答案】没有.法一①：2()(1)0fxxaxbxc无实数根，2(1)40bac.2015届高三数学微专题研究讲义09好学生是自己悟出来的，不是老师教或评出来的！Copyright@2014byHemu6(())0ffxx即为222()()0aaxbxcbaxbxccx，22222()()0aaxbxcaxaxbaxbxccx，2222()()(1)(1)(1)0aaxbxcxaxbxcxbaxbxcb，222(1)(1)(1)(1)0aaxbxcaxbxcbaxbxc，222(1)(1)10axbxcaxabxbac.于是有2(1)0axbxc或22(1)10axabxbac.21(1)40bac；2222222(1)4(1)(1)4440abaacbabaca.故均不存在实数根.法一②：先介绍一个引理.引理：若()Mxfxx，(())Nxffxx，则MN.引理的证明：0xM，有00()fxx，故000(())()ffxfxx0xN，由0x的任意性知MN.回到原题.(())ffxx即2()()afxbfxcx，这是一个4次方程，由上述引理知，(())ffxx一定可以分解出()fxx这样一个因式.2()()0afxbfxcx222()()()0afxbfxaxbxcaxbxx，即22(())(())()0afxxbfxxfxx(())(())10fxxafxxb.由于()0fxx无实根.下面只要说明方程(())10afxxb是否有实根即可.下略(见上面的解法).法二：若0a，则()fxx，对一切xR恒成立，于是(())()ffxfxx；若0a，则()fxx，对一切xR恒成立，于是(())()ffxfxx.综上所述，(())ffxx没有实数根.法三：反证法.若存在00(())ffxx，令0()fxt，则0()ftx，即0(,)tx是()yfx图像上的点；又0()fxt，即0(,)xt也是()yfx图像上的点.显然这两个点不重合，且这两点关于直线yx对称.而2()yfxaxbxc是连续函数，故2()yfxaxbxc与yx必有交点，从而()fxx有实数解，矛盾！注：从法三可以看出，此题的结论不只针对二次函数()fx是对的，对一般的连续函数都有2015届高三数学微专题研究讲义09好学生是自己悟出来的，不是老师教或评出来的！Copyright@2014byHemu7一样的结论.探究5：设Rx，若函数)(xf为单调递增函数，且对任意实数x，都有1])([eexffx（e是自然对数的底数），则)2(lnf的值等于_______.解析：由1xffxee，采用换元xtfxe，即有：1fte……(1)xfxet……(2)；可知：1fet……(3)；又已知函数fx为增函数，可知1t，代入(2)式有1xfxe；因此：ln2ln213fe；变式1：已知函数)(xf是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x˃0，都有[()ln]1effxx，则(1)f=________．【