习题五

《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩1习题五大数定律与中心极限定理一、填空题1．设随机变量~[0,1]XU，由切比雪夫不等式可得1(12)3PX-≥≤0.25；2．设()1,()4,EXDX==则由契比雪夫不等式有(57)PX-=98；3．设12,,...,,...nXXX是相互独立的随机变量序列，且2(),()0iiEXDXms==≠(1,2,...)i=，则对10,lim()niniPXneme→∞=∀-≥=∑0；4．设随机变量,XY，已知()2,()2,()1,()4,0.5,EXEYDXDYr=-====-则由契比雪夫不等式有(6)PXY+≥≤1/12；5．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700。利用契比雪夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200至9400之间的概率p=98；6．设nx是n重贝努里试验中事件A出现的次数，p为A在每次试验中出现的概率，则对0,lim()nnPpnxee→∞-≥=0；7．假设某一年龄女童的平均身高为130厘米，标准差是8厘米。现在从该年龄段的女童中随机地选取五名儿童测其身高，估计它们的平均身高在120至140厘米的概率为259改；8．设12,,...,,...nXXX是相互独立的随机变量序列，且都在[-1,1]服从均匀分布，则1lim()niniPXn→∞=≤=∑0.5改；二、选择题1．设随机变量X的方差()DX存在，0a，则()(1)XEXPa-≤（C）《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩2A．()DXB.1C.2()DXaD.2()aDX.2.设(),()EXDX都存在,则对于任意实数,()abab,可以用契比雪夫不等式估计出概率(D).A．()PaXbB.(())PaXEXb-C.()PaXaD.()PXba≥-3.设随机变量2~(,)XNms，随s的增大()PXms-（C）A．单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不变.4．设随机变量X的方差存在，并且满足不等式2(()3)9PXEX-≥≤，则一定有（D）A．()2DX=B.7(()3)9PXEX-C.()2DX≠D.7(()3)9PXEX-≥5．设X为连续型随机变量，且方差存在，则对任意常数C和0e，必有（C）A．()EXCPXCee--≥=B.()EXCPXCee--≥≥C.()EXCPXCee--≥≤D.2()EXCPXCee--≥≤6.已知129,,...,XXX是独立同分布的随机变量序列，且()1,()1,iiEXDX==则对0,e∀下列式子成立的是（B改）A．921(1)1iiPXee=-≥-∑B．9211(1)19iiPXee-=-≥-∑C．921(1)1iiPXee-=-≥-∑D．9211(1)19iiPXee-=-≥-∑D改291911)191(-=-≥-∑eeiiXP7．已知121000,,...,XXX是独立同分布的随机变量，且~(1,)(1,...,1000)iXBpi=《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩3则下列不正确的是（C）A．1000111000iiXp=≈∑B．10001~(1000,)iiXBp=∑C.10001()()()iiPaXbbaff=≈-∑D．1000110001000()()()10001000iibpapPaXbpqpqff=--≈-∑8．设12,,...,nXXX相互独立，12,...,nnSXXX=+++，则根据列维——林德伯格中心极限定理，当n充分大时，nS近似服从正态分布，只要12,,...,nXXX（B）A．有相同的数学期望B.有相同分布C.服从同一指数分布D.服从同一离散型分布.三、解答题1．每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为1.5，求在100次射击中有180到达220发炮弹命中目标的概率．解：设X为在100次射击中炮弹命中目标的次数由林德伯格—列维定理知)1,0(~5.11002100NX××-)5.110021002205.110021005.11002100180()220180(××-××-××-=XPXP)63.15.1100210063.1(××--=XP1)63.1(2)63.1()63.1(-Φ=-Φ-Φ=0.89682．由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率为90%．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩4件正常工作，求整个系统能正常运行的概率．解：设X为正常工作的部件数由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知)85(≥XP)1.09.01009.0100851.09.01009.0100(×××-≥×××-=XP-=1)1.09.01009.0100851.09.01009.0100(×××-≤×××-XP)35(1-Φ-=)35(Φ==0.95153．设有30个同类型的某电子器件1230,,...,XXX，若(1,...,30)iXi=的寿命服从参数为0.1l=的指数分布，令T为30个器件正常使用的总计时间，求(350)PT解：由林德伯格—列维定理知(350)PT=)10030300350100301030(×-××-TP=)30/53010300(1≤--TP=)30/5(1Φ-=0.18144．在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)Nm，若以nX表示n次称量结果的平均值，问n至少取多大，使得(0.1)0.5nPXm-≥．《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩5解：由林德伯格—列维定理知(0.1)0.5nPXm-≥5.0)/2.01.0/2.0(___≥-nnXPnm5.0)/2.01.0/2.0(1___≤--nnXPnm[])/2.01.0()/2.01.0(1nn-Φ-Φ-=)/21(22nΦ-5.02≥n5．某单位设置一电话总机，共有200门电话分机，每门电话分机有5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用．解：用X表示200个分机中同时需要使用外线的台数。则)05.0,200(~BX，若设该单位安装的外线数为k，则由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知)1,0(~5.910)1(NXpnpnpX-=--{}⎟⎠⎞⎜⎝⎛-Φ≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-==∴5.9105.9105.910kkxPkxP故想保证这些分机要用外线时可供使用的概率达到0.9。即使{}9.0≥≤kXP则需要使9.0)5.910(≥-Φk查表知9.0)28.1(≈Φ因此需要28.15.910≥-k即14≥k《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩66．已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为100小时的指数分布。现在从该厂的产品中随机地抽取64只。试求这64只晶体管的寿命总和超过7000小时的概率。假定这些晶体管的寿命是相互独立的。解：X为64只晶体管的总寿命则)7000(XP=)7000(1≤-XP=)80064007000810010064(1-≤××--XP=)43(1Φ-=0.22667．为了测定一台机床的重量，把它分解成若干部件来称量。假定每个部件的称量误差(单位：kg)服从区间(-2，2)上的均匀分布。试问，最多可以把这台机床分解成多少个部件，才能以不低于99％的概率保证总重量误差的绝对值不超过10kg。解：设最多可以分解成n个部件X为总重量的误差则：)1010(≤≤-XP=)3401034034010(nnnXnP-≤×-≤--=1)3410(2-Φn0.9911≤n《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩79．已知男孩的出生率为51.5％。试求刚出生的10000个婴儿中男孩个数多于女孩的概率。解：设X是10000个婴儿中男孩的个数由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知)5000(XP=))515.01(515.010000515.0100005000)515.01(515.010000515.010000(-×××--×××-XP=)485.05150150(1×-Φ-≈0.9986510．报童沿街向行人兜售报纸。设每位行人买报的概率为0.2，且他们是否买报是相互独立的。试求，报童在向100位行人兜售之后，卖掉报纸15-30份的概率。解：设X为100位行人买报的份数则由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知)3015(XP=)8.02.01002.0100308.02.01002.01008.02.01002.010015(×××-×××-×××-XP=()25.1)5.2(-Φ-Φ=0.888211．某厂有200台车床，每台车床的开工率仅为0.1。设每台车床是否开工是相互独立的，假定每台车床开工时需要50kW电力。试问，供电局至少应该提《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩8供该厂多少电力，才能以不低于99.9％的概率保证该厂不致因供电不足而影响生产？解：设至少提供W电力，X为任意时刻正常工作的车床数由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知99.0)50(≥WXP99.0)50(≥WXP99.0)9.01.02001.0200509.01.02001.0200(≥×××-×××-WXP99.0)21501000(≥-ΦW33.221501000≥-W1494≥W(kW).12．某产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假定每箱平均重量为50kg，标准差为5kg。现用载重量为5吨的汽车承运，试问，汽车最多只能装多少箱，才能使不超载的概率大于0.9772？解：设最多能装n箱才能使不超载的概率大于0.9772ix为第i箱的重量9772.0)5000(1≥∑nixP9772.0)5505000550(1≥--∑nnnnxPni9772.0)5505000(≥-Φnn0.25505000-nn99≤n13．由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩9件能正常工作的概率都为90%．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率．（重复）16．计算机在进行加法运算时，对每个加数取整(取为最接近于它的整数).设所有的取整误差相互独立且都服从区间(-0.5,0.5)上的均匀分布.(1)求在1500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率.(2)欲使误差总和的绝对值小于10的概率不小于90%，最多能允许几个数相加？解：设ix为第i个加数的舍入误差，则ix在区间(-0.5,0.5)上的均匀分布。（1）12512/150001500115001∑∑=-iixx~()1,0N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑1515001ixP1)12515(2)12515()12515(125151251251515001-Φ=-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∑ixP=0.8198（2）9.0101≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑nixP)1210()1210(12/01012/012/0101nnnnxnPni-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----∑=1)1210(2-Φn9.0≈《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩1017．某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从（20，100）上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的试求：（1）该餐厅每天的平均营业额；（2）该餐厅每天的营业额已平均营业额±760元内的概率。解：设ix为第i位顾客的消费额Y为一天的总消费额（1）()ixE=210020+=60()60400×=YE（2）{}()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-×-×--×-=+-∑∑122010020760122010020240001220100207