实积分与复积分之间的联系与区别

实积分与复积分之间的联系与区别摘自：陕西教育学院学报王仲建在各类实积分中，最基本并且也最重要的是定积分。对于函数)(xf在区间ba,上定积分，定义为如下合数的极限值nkkkbaXCfdxxf10)(lim)(，其中kC是将区间ba,分成n个子区间kkXX,1上任一点，是n个子区间中最大值的长度。这个极限值是一个不随区间分法及kC取法而变化的数。它仅决定于分区间ba,及被积函数)(xf。对于各种实积分，利用点函数的方法，可以将其定义统一地写成下列形式knkkEEPfdEpf10)(lim)(（1）其中E为积分区域，kP为将区域E任意分划成n个子域后，所得的第K个子域kE上的任一点是n个子域中的直径的最大值。1、如果E是数轴上的区间ba,，则（1）式相应地为)(pf在ba,上的定积分；2、如果E为平面区域D,则（1）式相应地为)(pf在D上的二重积分；3、如果E是空间区域V，则（1）式相应地为)(pf在V上的三重积分；4、如果E是平面或空间曲线L，则（1）式相应地为)(pf在L上的曲面积分；5、如果E是空间曲面S，则（1）式相应地为)(pf在S上的曲面积分。实变函数的各种积分不仅在定义上可以写成统一地形式，而且在计算上也有着十分密切的联系，无论是二重积分、三重积分，其计算一般都是化为累次积分进行的，从而最后都转化成定积分的问题。对于曲线积分和曲面积分，其计算也都归结为定积分的计算问题。所以，实积分的计算实际上都是用各种方法将积分化成定积分的计算。因此从某种意义上来说，定积分是各种实积分的共同基础。只要掌握了定积分的定义及计算方法，各种实积分的问题也就迎刃而解了。复变函数的积分仍是作为一种合式的极限来定义的nkkkCZfdxxf10)(lim)(其中C为积分曲线，1kkkZZZ，k是将C分为n个小弧段后所得的第K个弧段1kkZZ上任一点，是n个小弧段长度的最大值。由此可见，复变函数的积分作为合式的极限，任然可以统一地用（1）式来表示，不过这式kZ有方向性。因此，实积分的很多重要性质都可以不加改变的直接推广到复变函数的积分上来。但是，实积分中的一个重要定理———积分中值定理，却不能直接推广到复积分上来。复变函数中积分的定义从形式上与实变函数的第二型曲线积分的定义是非常相似的，而且二者之间可以建立密切的联系。设YXZi，则当函数),(iv),()(vxyxuxf在曲线C上连续时，有如下的公式CCCdyyxudxyxvidxyxudzzf),(),(),()(所以复变函数积分的计算问题就可转化为两个第二形曲线积分的计算问题。但是在通常计算中并不直接用这个公式。因为在很多情况下，将函数)(zf分为实部和虚部，往往比较困难，所以求积分时，一般直接从曲线的参数方程入手进行计算。设C的参数方程为Z=Z(t),t,则有积分计算公式dttZtZfdzzfC)()()(（2）这样就将复变函数的积分问题转换成定积分的问题了。一般来说，连续函数的积分都可以利用公式（2）进行计算。但是复积分在理论上及实际应用上具有实积分无法相比较的重要意义，这一点主要是有解析函数的积分定理——柯西积分定理：如果)(xf单连通区域D内解析，则对于D中任一围线C，0)(CZf.二、解析函数的积分与定积分的计算定积分作为积分和极限，虽然可以从定义出发，甚至选择方便于计算的介点与分割，但也只能求出极少数简单的函数的定积分，而且对于不同的函数要用不同的技巧。微积分学基本定理，揭示了微分与积分的关系，从而给出了计算连续函数积分的牛顿——莱布尼兹公式)()()(aFbFxfba，其中F(x)是)(xf在ba,上的一个原函数，这一公式将求积分的问题转化成了求被积函数的原函数问题。对于复变函数来说，沿起点在a，终点在b的曲线C的积分一般不能记为badZZf)(的形式，这是由于积分不仅依赖于a,b而且也依赖于曲线C的选取，但是对于单连通区域内的解析函数来说，根据柯西积分定理，可以得到类似于定积分中的牛顿——莱布尼兹公式的计算公式)()()(abdZZfba其中)(zf在包含a，b的单连通区域D内解析，)(Z是)(zf在D内的一个原函数。这一公式说明当限制在讨论单连通区域内的解析函数的积分时，将积分作为微分法的反运算，复变函数的积分与定积分是类似的。与解析函数有关的另一重要定理——柯西积分公式，也是由柯西积分定理所推出。其内容是：设)(zf在由围线或复围线的区域D内解析，在CDD上连续，则对于每一点Da，就有CdzaZZfiaf)(21)(这个公式说明了对于解析函数来说，从边界上的值可以推知函数在区域内部的一切值，由此可见解析函数的数值之间存在着密切的联系，而对于一般实函数来说，要从区域边界上的值来确定函数在区域内部的值，一般是不可能。对于解析函数来说，不仅由边界上的值可以决定函数在区域内部的值，而且函数在区域内一点邻域中的取值情况也可以决定它在区域内其他部分的值。这一性质可以用下述的唯一性定理来描述。解析函数的唯一性定理：设)(),(ZgZf在区域D内解析，DE为区域或曲线，如果当EZ时，),()(ZgZf则在D内恒有),()(ZgZf.解析函数唯一性定理与柯西积分公式一起，反映了解析函数的最基本的性质，它对于建立全部解析函数理论具有重大意义。