解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法

实验报告一、实验名称解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法二、实验目的及要求通过数值实验，用熟悉的算法语言编写程序，从中体会解线性方程组选主元素的必要性和Lu分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。三、实验内容解下列两个线性方程组（1）1233.016.031.9911.274.16-1.2310.987-4.819.341xxx（2）123410701832.099999625.9000015151521021xxxx四、算法描述1、列主元高斯消去法：记(1)ijijaa（,1,2,ijn）(1)iibb（1,2,in）（1）消元过程对于R=1,2，……，n-1执行：1）选行号ki，使()()amaxkkkikikkina2）交换()kkja与()akkik（j=k,k+1,……n）以及()kkb与()kikb所含的数值。3）对于i=k+1,k+2,……，n计算()()/kkikikkkmaa(1)()()kkkijijikkjaamaj=k+1,k+2,……n.(1)(k)()kkiiikkbbmb（2）回代过程()n/nnnnnxba（）()()()1()/,1,2,,1.nkkkkkkjjkkjkxbaxaknn在此算法中的()akkik（k=1,2,……，n-1）称为第k个列主元素，它的数值总要被交换到第k个主对角线元素的位置上。2、LU分解法通过MATLAB自有的函数把系数矩阵A分解成A=LU，其中，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。这时方程组Ax＝b就可化为两个容易求解的三角形方程组Ly＝b，Ux＝y．先由Ly＝b解出向量y，再由Ux＝y解出向量x，这就是原方程组Ax＝b的解向量。五、程序流程图(1)列主元高斯消去法程序流程图如下：YN开始读入矩阵A，b选主元ik=k?跳出循环列主元计算错误!未找到引用源。对A进行上三角变换回代求x结束输出x(2)LU分解法程序流程图如下：YNYN这里我使用了四种框，一种是起止框，一种是输入输出框，一种是判断框，还有一种是处理框。3、列主元素高斯消去法的M文件如下：functiona=liezhuGS(A,b)r=length(A[1],i)fori=1:r开始读入矩阵A求出值y(1),y(2)i3?求求y值求末值x(n),x(n-1)j3?求x值结束输出y输出xforj=1:rifA(i,i)A(j,i)fork=i:rc=A(i:k);A(i,k)=A(j,k);A(j,k)=c;endd=b(i);b(i)=b(j);b(j)=d;endendforl=(i+1):rp=A(l,l)/A(i,i);form=i:rA(l,m)=A(l,m)-p*A(i,m);endb(l)=b(l)-p*b(i);endendA……Z=det(A)…bforn=r:-1:1ifn==rx(n)=b(n)/A(n,n);elseforq=1:(r-n)b(n)=b(n)-x(x+q)*A(n,n+q);endx(n)=b(n)/A(n,n);endendx4、LU分解法的M文件如下：Functiona=Lufenjiefa(A,b)[L,U]=lu(A)Y=l\bX=u\yAbZ=det(l)*det(u)5、实验步骤如下：（1）A=3.016.031.991.274.16-1.230.987-4.819.34；b=111；分别在命令窗口中运行LiezhuGs(A,b)和Lufenjiefa(A,b);记录相关数据（2）A=1070132.0999996251512102;b=85.90000151;分别在命令窗口中运行LiezhuGs(A,b)和Lufenjiefa(A,b);记录相关数据（3）A=3.006.031.991.274.161.230.9904.819.34；b=111;分别运行LiezhuGs(A,b),记录列主行交换次序x,det(A)（4）A=1070132.16251512102；b=85.951;运行LiezhuGs(A,b),记录相关数据（5）分别对上述A，b在命令窗口运行x=inv(A)*b,y=det(A),记录数据。六、实验结果实验项目列主元高斯消去法LU分解法Matlab内部函数法（1）A=3.016.031.990-6.7872798.68746500-0.001495Tb10.6720930.738072A=0.030547T3x101.5926,0.6319,0.4936L=1000.4219-0.238110.327910U=3.016.031.990-6.78138.687500-0.0015A=-0.0305T3x101.5926,0.6319,0.493631.5926x100.63190.4936A=det(A)=-0.030547（2）10-70102.551.5A=006.00023.2999990005.079999Tb818.3000015.0799992A=7.62000110Tx01111000-0.3-0.000000410L=0.51000.20.96-0.799997110-70102.55-1.5U=0060.2999990005.07999892A=-7.62000110Tx011101x112A=-7.62000110（3）3.06.031.99A=0-6.7998.683300-0.019952Tb10.676.735035A=0.40701421.195273x100.4714260.36840321.195273x100.4714260.368403A=-0.407014（4）10-70102.551.5A=0063.20005.08Tb818.35.08A=7.62Tx0111Tx0111A=-7.62七、实验结果分析解线性方程组有选主元的必要性。LU分解法具有简洁、正确的优点，调用[L,U]内部函数使其解法简便，得出的系数距阵的行列式为精确值。实验(1)系数为3.01改为3.00，0.978改为0.990，得出结果如上所示。实验（1）中系数发生微小改变后，结果变化不大。用Matlab的内部函数inv计算得出的解向量x=inv(A)*b,即为上述各方程组的解，与列主元素高斯消去法和LU分解法求出的解进行比较可知，它们都是等同的，这说明列主元素消去法具有良好的数值稳定性。