三角函数知识点归纳

1三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为36036090,kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk第三象限角的集合为360180360270,kkk第四象限角的集合为360270360360,kkk终边在x轴上的角的集合为180,kk终边在y轴上的角的集合为18090,kk终边在坐标轴上的角的集合为90,kk(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角相同的角的集合为360,kk(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr④若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为22rrxy，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值2角度函数030456090120135150180270360角a的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22πsina01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-10cosa1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101tana0√3/31√3-√3-1-√3/300二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：sinαcosα＝tanα.（3）倒数关系：1cottan2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，tan)2tan(k其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α，tantan．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tantan.公式五：sinπ2－α＝cos_α，cosπ2－α＝sinα.公式六：sinπ2＋α＝cos_α，cosπ2＋α＝－sin_α.诱导公式可概括为k·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．（cossin、cossin、cossin三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ=sin2＝tanπ43（4）齐次式化切法：已知ktan，则nmkbaknmbanmbatantancossincossin三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如xysin与xycos的周期是）。3会判断三角函数奇偶性4会求三角函数单调区间5知道三角函数图像的对称中心，对称轴6知道sin()yAx，cos()yAx，tan()yAx的简单性质（一）知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx2、正弦函数sin()yxxR、余弦函数cos()yxxR的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是1,1，对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值1；当322xkkZ时，y取最小值－1；对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值1，当2xkkZ时，y取最小值－1。（3）周期性：sinyx，cosyx的最小正周期都是2；（4）奇偶性与对称性：①正弦函数sin()yxxR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；②余弦函数cos()yxxR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。（5）单调性：sin2,222yxkkkZ在上单调递增，在32,222kkkZ单调递减；cosyx在2,2kkkZ上单调递增,在2,2kkkZ上单调递减。特别提醒，别忘了kZ！43、正切函数tanyx的图象和性质：（1）定义域：{|,}2xxkkZ。（2）值域是R，无最大值也无最小值；（3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02kkZ，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（4）单调性：正切函数在开区间,22kkkZ内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴函数性质55、研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x。函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性质。（1）定义域：R（2）值域：[-A,A]（3）周期性：2||T①()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T。②()tan()fxAx的最小正周期都是||T。（4）单调性：函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的单调增区间可由2k－2≤x＋≤2k＋2，k∈z解得；单调减区间可由2k＋2≤x＋≤2k＋32，k∈z解得。在求sin()yAx的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如函数23ysin(x)的递减区间是______（答：解析：y=，所以求y的递减区间即是求的递增区间，由得，所以y的递减区间是四、函数sinyAx的图像和三角函数模型的简单应用一、知识要点1、几个物理量：①振幅：；②周期：2；③频率：12f；④相位：x；⑤初相：．2、函数sin()yAx表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定.函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx．3、函数sin()yAx图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，3,,,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数y＝sinx的图象经变换可得到sinyAx0＞的图象6y=sinxy=sinxXXXxxx横坐标伸（缩）1倍左（右）平移纵坐标伸（缩）A倍sinyxsinyxxAysiny=sinx左（右）平移纵坐标伸（缩）A倍横坐标伸（缩）1倍左（右）平移xAysinxAysin横坐标伸（缩）倍横坐标伸（缩）1倍sinyAx纵坐标伸（缩）A倍横坐标伸(缩)1倍xysinxAysinxysinsinyAx纵坐标伸（缩）A倍左（右）平移左（右）平移纵坐标伸（缩）A倍5、函数sin()yAxb的图象与sinyx图象间的关系：①函数sinyx的图象向左（0）或向右（0）平移||个单位得sinyx的图象；②函数sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到函数sinyx的图象；③函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sin()yAx的图象；④函数sin()yAx图象向上（0b）或向下（0b）平移||b个单位，得到sinyAxb的图象。要特别注意，若由sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移||个单位，如要得到函数y＝sin(2x－π3)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()(A)向左平移π3个单位(B)向右平移π3个单位(C)向左平移π6个单位(D)向右平移π6个单位6、函数y＝Acos（x＋）和y=Atan（x＋）的性质和图象的变换与y＝Asin（x＋）类似。三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin