9.1第三课时平面的基本性质2-公理的推论

2020年5月26日星期二BAa公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.推理模式：AABB或者∵A，B，∴AB复习回顾βA公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.推理模式：AlA且Al且l唯一或者∵A，A，∴,lAl①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上应用：ABC公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推理模式：,,ABC不共线存在唯一的平面，使得,,ABC或者∵,,ABC不共线∴存在唯一的平面，使得,,ABC应用：①确定平面；②证明两个平面重合讲解新课lABCα推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面已知：直线l，点A是直线l外一点.求证：过点A和直线l有且只有一个平面奎屯王新敞新疆证明：（存在性）：在直线l上任取两点B、C，∵Al，∴,,ABC不共线．由公理3经过不共线的三点A，B，C可确定一个平面，∵点,BC在平面内，根据公理1，l，即平面是经过直线l和点A的平面.lABCα（唯一性）∵,BCl，l，A，∴点,,ABC，由公理3，经过不共线的三点,,ABC的平面只有一个，所以，经过l和点A的平面只有一个奎屯王新敞新疆综上，经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：Aa存在唯一的平面，使得A，l奎屯王新敞新疆l推论2经过两条相交直线有且只有一个平面PbaABα已知：直线Pba.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面奎屯王新敞新疆证明：（存在性）在直线a上任取点A，直线b上取点B，∵Pba，∴,,ABP不共线．由公理3经过不共线的三点A，B，P可确定一个平面，∵点,,ABP在平面内，根据公理1，,ab即平面是经过直线a和直线b的平面.PbaABα（唯一性）∵Pba，,AaBb，,ab，∴点,,ABP，由公理3，经过不共线的三点,,ABP的平面只有一个，所以，经过直线a和直线b的平面只有一个奎屯王新敞新疆综上，经过两条相交直线有且只有一个平面.推理模式：Pba存在唯一的平面，使得,ab奎屯王新敞新疆abα推论3经过两条平行直线有且只有一个平面.证明：（存在性）：∵//ab已知：直线//ab.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面奎屯王新敞新疆由平行线的定义，直线a和直线b在同一个平面内，即平面是经过直线a和直线b的平面.abαACB（唯一性）取,ACa，Bb，∵,,//abab∴点A,B,C不共线且,,ABC，由公理3，经过不共线的三点,,ABC的平面只有一个，所以，经过直线a和直线b的平面只有一个奎屯王新敞新疆综上，经过两条平行直线有且只有一个平面.推理模式：//ab存在唯一的平面，使得,ab奎屯王新敞新疆例1：下列图形中不一定是平面图形的是（）（A）三角形（B）菱形（C）梯形（D）四边相等的四边形D讲解范例例2在正方体1111ABCDABCD中，A1D1C1CDABB1①1AA与1CC是否在同一平面内？解：①在正方体1111ABCDABCD中，∵11//AACC，∴由推论3可知，1AA与1CC可确定平面1AC，∴1AA与1CC在同一平面内奎屯王新敞新疆A1D1C1CDABB1解：②点1,,BCD是否在同一平面内？②∵点1,,BCD不共线，由公理3可知，点1,,BCD可确定平面1BCD，∴点1,,BCD在同一平面内奎屯王新敞新疆A1D1C1CDABB1作图：③画出平面1ACD与平面1BDC的交线奎屯王新敞新疆NM例3若，，，试画出平面与平面的交线.解：（1）若时，如图（1）；（2）若时，如图（2）l,ABcABC,DlABlAB//作图：C′MA′D′STNPQABCDA1B1C1D1思考题：如图，P,Q,N是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上的中点，过P,Q,N作出正方体ABCD-A1B1C1D1的截面图.小结：公理3的三个推论，是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述.Pba存在唯一的平面，使得,ab奎屯王新敞新疆//ab存在唯一的平面，使得,ab奎屯王新敞新疆Aa存在唯一的平面，使得A，l奎屯王新敞新疆l