蒙特卡洛方法

蒙特卡洛（MonteCarlo）模拟方法这一方法源于美国在第二次世界大战研制原子弹的曼哈顿计划。MonteCarlo方法创始人主要是这四位：StanislawMarcinUlam,EnricoFermi,JohnvonNeumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和NicholasMetropolis。二十世纪最伟大的10大算法之一Monte-Carlo,Monaco数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。但是——蒙特卡洛模拟方法并不是什么神秘的东西，只是基于概率论而生的一种算法。其中的大部分内容概率论都已经涉及。所谓蒙特卡洛方法，简单地说就是将问题转化成一个概率问题.并用计算机模拟产生一堆随机数据，之后就是对随机数据的统计工作了！蒙特卡洛模拟方法=建立概率模型+计算机模拟+数理统计实例分析1mP=Π/4应用蒙特卡洛模拟方法计算Π值：P=圆的面积/正方形的面积问题：1.建立概率模型：2.用计算机模拟，产生0—1之间的二维的随机数3.对产生的随机数样本进行统计分析，算出π值，并计算误差这就是一个完整的蒙特卡洛分析过程。蒙特卡洛模拟方法与数理统计的区别在于：1.蒙特卡洛需要建一个概率模型，即将问题转化为概率问题2.用计算机产生随机数之后的工作大部分就是对随机数的统计分析即我们所学的数理统计了！该方法为我们提供了一个看待世界的新思路，即一个不具有随机性的事件也可以通过一定的方法用随机事件来模拟或逼近意义该方法巧妙的“逃避”了数学上的困难，不管多复杂，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确可靠度指标。这种看似简单的方法在许多领域却是不可或缺的。并且随着计算机的发展会渗透到更多的学科。概率研究的是问题表面的性质，跳开了问题的本质，因此简单了很多。下面是一些具体的论述1.根据问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型。使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致建立模型要具体问题具体分析模拟：建立一个试验模型，这个模型包含所研究系统的主要特点．通过对这个实验模型的运行，获得所要研究系统的必要信息现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟。物理模拟通常花费较大、周期较长，甚至无法进行接下来，跳过第二步利用计算机产生随机数的过程，直接进行对随机数（样本）的统计分析。蒙特卡洛模拟的理论基础与模拟结果的误差大数定律中心极限定理对此，我们只对更强一些的中心极限定理展开讨论，将概率论中所学的理论“机械”的移植过去就行！中心极限定理,2,1,0)(,)(2kXDXEkkxtnkkndtexnnXP21221lim满足（1）：独立同分布（2）)1,0(~/NnXn11-)z(2z2/nXPN这表明，不等式近似地以概率1成立。上式也表明，nXn2/znX收敛到的阶为O(n-1/2)。通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为n2/zn2/z或者是增大n，或者是减小方差2要减小误差要把精度提高一个数量级，试验次数n需增加两个数量级。因此，单纯增大n不是一个有效的办法。O(n-1/2)这就是所谓的“方差缩减”技巧如减小估计的均方差，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于n增大四倍的效果。n2/zBuffun投针中针长对模拟精度的影响针的长度增加能够提高圆周率π估计精度.因此在应用蒙特卡洛方法时，适当设定模型可减小方差能够使模拟的效率明显提高.方差缩减实例：小结：蒙特卡洛方法的特点1)MonteCarlo方法原理极其简单（相对）——通过大量的简单随机抽样和简单计算实现该方法。2）收敛速度与问题维数无关（多重积分）——MonteCarlo方法的收敛速度为O(n-1/2)，与维数无关对多维问题优势明显对复杂问题提供了一个简单通法完了！