2005年高考理科数学试题及答案(天津)

2005年普通高等学校招生全国统试一考试数学试题天津卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的体积公式)()()(BPAPBAP334RV球如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径)(BAP=)()(BPAP柱体（棱柱、圆柱）的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率V柱体=Sh是P，那么n次独立重复试验中恰好发其中S表示柱体的底面积，生k次的概率h表示柱体的高。Pn（k）=CnPk(1-P)n-k一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。（1）设集合},914{RxxxA,},03{RxxxxB,则BA（）(A)]2,3((B)]25,0[]2,3((C)),25[]3,((D)),25[)3,((2)若复数iia213（Ra，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）（A）-2(B)4(C)-6(D)6(3)给出下列三个命题①若1ba,则bbaa11②若正整数m和n满足nm,则2)(nmnm③设),(11yxP为圆9:221yxO上任一点，圆2O以),(baQ为圆心且半径为1.当1)()(2121ybxa时,圆1O与圆2O相切其中假命题的个数为（）(A)0(B)1(C)2(D)3(4)设、、为平面，lnm、、为直线，则m的一个充分条件是（）(A)lml,,(B),,m(C)m,,(D)mnn,,(5)设双曲线以椭圆192522yx长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）(A)2(B)34(C)21(D)43(6)从集合}11,,3,2,1{中任选两个元素作为椭圆方程12222nymx中的m和n,则能组成落在矩形区域,11|||),{(xyxB且}9||y内的椭圆个数为（）(A)43(B)72(C)86(D)90(7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（）(A)12581(B)12554(C)12536(D)12527(8)要得到函数xycos2的图象，只需将函数)42sin(2xy的图象上所有的点的（）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8个单位长度(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8个单位长度(9)设)(1xf是函数)1()(21)(aaaxfxx的反函数，则使1)(1xf成立的x的取值范围为（）(A)),21(2aa(B))21,(2aa(C)),21(2aaa(D)),[a(10)若函数)1,0()(log)(3aaaxxxfa在区间)0,21(内单调递增，则a的取值范围是（）(A))1,41[(B))1,43[(C)),49((D))49,1(第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。（11）设Nn,则12321666nnnnnnCCCC．（12）如图，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．（13）在数列{an}中,a1=1,a2=2,且)()1(12Nnaannn则100S=_____．（14）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC|=2,则OC=．（15）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）（16）设)(xf是定义在R上的奇函数，且)(xfy的图象关于直线21x对称，则)5()4()3()2()1(fffff=________________．三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值（18）（本小题满分12分）已知)0,0,(1221baNnbabbabaaunnnnnn。（Ⅰ）当ba时，求数列nu的前n项和nS（Ⅱ）求1limnnnuu（19）（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111CBAABC中，aBAAAACABACAABA1111,,，侧面11BCCB与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱AACB111、的中点（Ⅰ）求AA1与底面ABC所成的角（Ⅱ）证明EA1∥平面FCB1（Ⅲ）求经过CBAA、、、1四点的球的体积（20）（本小题满分12）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为a,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）（21）（本小题满分14分）抛物线C的方程为)0(2aaxy，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足)10(012且kk。（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足MABM，证明线段PM的中点在y轴上（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标1y的取值范围（22）（本小题满分14分）设函数)(sin)(Rxxxxf.（Ⅰ）证明xkxfkxfsin2)()2(,其中为k为整数；（Ⅱ）设0x为)(xf的一个极值点，证明2040201)]([xxxf；（Ⅲ）设)(xf在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,,,,21naaa,证明),2,1(21naann题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案DCBDCBACAB2005年全国普通高等学校招生考试数学答案天津卷（理工类）一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共24分）（11）)17(61n；（12）2；（13）2600；（14）)5103,510(；（15）4760；（16）0．三、解答题（共76分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分）（17）解：由余弦定理212cos222bcacbA，因此60A．在ABC中，BBAC120180．由已知条件，应用正弦定理21cot23sinsin120coscos120sinsin)120sin(sinsin321BBBBBBBCbc，解得2cotB从而21tanB．（18）解：（Ⅰ）当ba时，nnanu)1(．这时数列}{nu的前n项和nnnannaaaaS)1(432132．①①式两边同乘以a，得1432)1(432nnnannaaaaaS②①式减去②式，得132)1(2)1(nnnanaaaaSa若1a，aanaaaSannn1)1(1)1()1(，221212)1(2)2()1(1)1()1()1(aaaananaanaaaaSnnnnn若1a，2)3()1(32nnnnSnACGPHOA1C1B1BEF（Ⅱ）由（Ⅰ），当ba时，nnanu)1(，则annanaanuunnnnnnn)1(lim)1(limlim11．当ba时，)(11)(1)()(1[111211nnnnnnnnnnnbabaababaabababababbaau此时，nnnnnnbabauu111．若0ba，aababbababauunnnnnnnnnnn)(1)(limlimlim111．若0ab，bbabbaauunnnnnn1)()(limlim1．（19）解：（Ⅰ）过1A作HA1平面ABC，垂足为H．连结AH，并延长交BC于G，于是AHA1为AA1与底面ABC所成的角．∵ACAABA11，∴AG为BAC的平分线．又∵ACAB，∴BCAG，且G为BC的中点．因此，由三垂线定理BCAA1．∵BBAA11//，且BBEG1//，∴BCEG．于是AGE为二面角EBCA的平面角，即120AGE．由于四边形AGEA1为平行四边形，得601AGA．（Ⅱ）证明：设EG与CB1的交点为P，则点P为EG的中点．连结PF．在平行四边形1AGEA中，因F为AA1的中点，故FPEA//1．而FP平面FCB1，EA1平面FCB1，所以//1EA平面FCB1．（Ⅲ）连结CA1．在ACA1和ABA1中，由于ABAC，ACAABA11，AAAA11，则ACA1≌ABA1，故BACA11．由已知得aCABAAA111．AOPlxyBC又∵HA1平面ABC，∴H为ABC的外心．设所求球的球心为O，则HAO1，且球心O与AA1中点的连线AAOF1．在FOARt1中，3330cos21cos111aaHAAFAOA．故所求球的半径aR33，球的体积33273434aRV．（20）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则)0,200(A，)220,0(B，)300,0(C．直线l的方程为tan)200(xy，即2200xy．设点P的坐标为),(yx，则)2200,(xxP（200x）由经过两点的直线的斜率公式xxxxkPC28003002200，xxxxkPB26402202200．由直线PC到直线PB的角的公式得6401602886426402800121601tan2xxxxxxxxkkkkBPCPCPBPCPB28864016064xx（200x）要使BPCtan达到最大，只须288640160xx达到最小．由均值不等式2886401602288640160xx．当且仅当xx640160时上式取等号．故当320x时BPCtan最大．这时，点P的纵坐标y为602200320y．由此实际问题知，20BPC，所以BPCtan最大时，BPC最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC最大．（21）解：（Ⅰ）由抛物线