初中数学竞赛辅导资料全

..eord完美格式第一篇一元一次方程的讨论第一部分基本方法1.方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x＋6＝0，x（x－1）=0,|x|=6,0x=0,0x=2的解分别是：x=－3,x=0或x=1,x=±6,所有的数，无解。2.关于x的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解x=ab；当a=0且b≠0时，无解；当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）3.求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解当a｜b时，方程有整数解；当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；当a、b同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b第二部分典例精析例1a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2)①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？..eord完美格式例2k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练..eord完美格式1.根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0,②x2=9,③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x+1=3x－1,⑥x+2=2+x2.关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________3.在方程a(a－3)x=a中，当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解；当a＿＿＿时无解；当a＿＿＿＿＿时,有无数多解；当a＿＿＿＿时,解是负数。4.k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？①x=k4②x=16k③x=kk32④x=123kk5.k取什么值时，方程x－k=6x的解是①正数？②是非负数？6.m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解①是零？②是正数？7.己知方程221463ax的根是正数，那么a、b应满足什么关系？..eord完美格式8.m取什么整数值时，方程mmx321)13(的解是整数?9.己知方程axxb231)1(2有无数多解，求a、b的值。第二篇二元一次方程的整数解..eord完美格式第一部分基本方法1.二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,5x－2y=7,9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和4x－2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。2.二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y=yyyy2515101(1),设kky(51是整数），则y=1－5k(2),把（2）代入（1）得x=k－2(1－5k)=11k－2∴原方程所有的整数解是kykx51211（k是整数）方法二，公式法：设ax+by=c有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法）1，求二元一次方程的正整数解：①出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值②用观察法直接写出。第二部分典例精析例1求方程5x－9y=18整数解的能通解..eord完美格式例2求方程5x+6y=100的正整数解例3甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？第三部分典题精练1.求下列方程的整数解①公式法：x+7y=4,5x－11y=3②整除法：3x+10y=1,11x+3y=4..eord完美格式2.求方程的正整数解：①5x+7y=87,②5x+3y=1103.一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4.兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。5.下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）③4x＋2y=11,②10x－5y=70,③9x+3y=111,④18x－9y=98,⑤91x－13y=169,⑥120x+121y=324.6.一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同..eord完美格式学得48分，他最多得几分？7.用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：y=14－2x=371y第三篇二元一次方程组解的讨论第一部分基本方法1.二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种：..eord完美格式①当212121ccbbaa时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）②当212121ccbbaa时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）③当2121bbaa（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：1221211212211221babaacacybababcbcx（这个解可用加减消元法求得）2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）第二部分典例精析例1.选择一组a,c值使方程组cyaxyx275例2.a取什么值时，方程组3135yxayx的解是正数？..eord完美格式例3.m取何整数值时，方程组1442yxmyx的解x和y都是整数？例4.（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？第三部分典题精练1.不解方程组，判定下列方程组解的情况：①96332yxyx②32432yxyx③153153yxyx..eord完美格式1．a取什么值时方程组229691322aayxaayx的解是正数？2．a取哪些正整数值，方程组ayxayx24352的解x和y都是正整数？3．要使方程组12yxkkyx的解都是整数，k应取哪些整数值？..eord完美格式4．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？第四篇用交集解题第一部分基本方法1.某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。1．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集..eord完美格式例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。2．几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集――正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组)2(2)1(62xx解的集合就是不等式（1）的解集x3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x3.如数轴所示：0234．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）第二部分典例精析例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。整数集正数集正整数集..eord完美格式例2.有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。例3.数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？［公式一］N＝N+N（A）+N（B）－N（AB）。例4.在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，问：有多少人①只会打乒乓球②同时会打篮球和排球③只会打排球？ABC1AB6AC4A24B18C10ABB＝21A＝28只B15只A226..eord完美格式例5.十进制中，六位数8719xy能被33整除，求x和y的值第三部分典题精练1.负数集合与分数集合的交集是.等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。2.12的正约数集合A＝｛｝，30的正约数集合B＝｛｝12和30的公约数集合C＝｛｝，集合C是集合A和集合B的＿＿3.某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。4.九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？5.求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。..eord完美格式6.据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？7.100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？8.数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）9.053yxyx10.十进制中，六位数2851xy能被21整除，求x,y的值（仿例5）第五篇用枚举法解题第一部分基本方法有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：①按一定的顺序，有系统地进行；②分类列举时，要做到既不重复又不违漏；③遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。第二部分典例精析例1.如图由西向东走，从A处到B处有几种走法？..eord完美格式例2.写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。例3.讨论不等式axb的解集。例4.如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数第三部分典题精练1.己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共个，它们是.2.a+b=37,适合等式的非负整数解共组，它们是.3.xyz=6,写出所有的正整数解有：.4.如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数.ABCDEF5.写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的所有三次单项式。..eord完美格式6.除以4余1两位数共有几个？7.从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？8.把边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为5等分呢？10等分呢？9.右图是街道的一部