调和分析

调和分析-学习报告调和分析也叫FOURIER分析，形成于18世纪，来源于Fourier级数，主要研究函数的Fourier变换以及相关问题。早期的研究主要是围绕一元Fourier级数的收敛性、求和法等问题.20世纪调和分析实变理论得到了深入发展，Hardy-Littlewood极大算子、Littlewood-Paley理论成了近代调和分析的重要工具。50年代奇异积分理论的产生、70年代Hardy空间的实变理论的形成都为当代调和分析的发展注入了新的活力，特别是Calderon-Zygmund奇异积分理论的发展以及在偏微分方程中的应用，可以说是五、六十年代调和分析最为辉煌的成就之一。算子的有界性以及函数空间的刻画是调和分析的两个中心内容。近代调和分析的内容还包括群上的调和分析、流形上的调和分析等。小波分析可以说是20世纪七、八十年代调和分析及其应用的最重要的发展。调和分析基本理论不仅对于实分析和函数论自身的发展有重要的意义，对其它的数学领域的发展也有重要的作用，比如偏微分方程和概率论。下面主要谈谈调和分析在偏微分方程中的一个应用。在偏微分方程中建立一般二阶线性椭圆方程()|0Lufxu于的解的pL估计其基础是对Newton位势给出2,,,||||||||ppucf估计，这就需要借助奇异积分算子理论。因此需要先了解调和分析中的奇异积分算子理论，然后建立pL估计。为了建立pL估计需要证明奇异积分算子是强(,)pp型的。定义线性算子:()()pnpnTLLRR称为强(,)pp型的,如果存在常数C使,,||||||||()nnpnppTfcffLRRR并记使上式成立的最小的c记为,||||spT.2）设()gx是nR上可测函数，记(){:|()|}gmesxgx称为()gx的分布函数。3）线性算子:()()pnpnTLLRR称为弱(,)pp型的，如果存在常数c使,||||()(),0,(),1npppnTfcffLpRR使上式成立的最小的c记为,||||wpT.引理3.1对于1p，如果T是强(,)pp型的，则它必是弱(,)pp型的，且,,||||||||wpspTT.证明：,,|()|||||||||1(){:|()|}|()|()nsppppTfpTfxTfmesxTfxTfxdxR.后面，我们需要用分布函数来估算函数的pL范数，这时用到引理3.2设()(),1pngxLpR则10|()|()nppggxdxpdR.证明：先设1p，考虑所谓的下方图形1(,):0|()|nExyygxRR那么，由Fubini定理，有0|()|nxyEgxdxdxdymesEdyR其中:(,):|()|nnyExxyExgxyRR显然()xygmesEy，从而0|()|()nggxdxydyR对于一般的1p，利用上式，根据分布函数的定义，并进行变量替换，可得引理结论。定理3.3（Marcinkiewicz内插定理）设1pq，如果T既是弱(,)pp型的，又是弱(,)qq型的，那么对任意(,)rpq，T是强(,)rr型的，并且,,,||||max{||||,||||}srwpwqTcTT，其中(,,)ccpqr.证明：设(),0rnfLR，令1()|()|()0|()|fxfxfxfx当当20|()|()()|()|fxfxfxfx当当显然12()()()fxfxfx，且1()()pnfxLR，2()()qnfxLR于是12TfTfTf，那么12{:||}{:|()|}{:|()|}22xTfxTfxxTfx从而12,1,2,,()()()()(||||||||)()(||||||||)2222nnppqqTfTfTfwpwqpRqRTfTf由引理3.211,00|()|||()(2||)|()|nrrprppTfwpfxTfdxrdTrdfxdxR1,0|()|(2||||)|()|qrqqwqfxTrdfxdx|()|1,,10|()|(2||||)|()|(2||||)|()|nnfxpprpqqwpwqqrfxdTrfxdxdTrfxdxRR,,(2||||)(2||||)|()|npqwpwqrTrTrfxdxrpqrR因此，T为强(,)rr型，且1,,,(2||||)(2||||)||||pqrwpwqsrTrTrTrpqr如果,,max{||||,||||}1wpwqTT，则,||||(,,)srTcpqr.对一般情形，令,,max{||||,||||}wpwqTTTT重复上面证明，即得定理结论。引理3.4（Calderon-Zygmund分解）设0f，1()nfLR，则对任意固定0，存在两集合F与，使得满足性质：1）,nFFR;2）|()|,fxa.e.于F.3）kkQ，其中kQ为两两无公共内点，边平行于坐标轴的立方体，且1()2knQkfxdxmesQ特别有1,1||||nmesfR证明：将nR分解为等立方体网{}Q，使Q的边平行坐标轴，且Q之边长如此之大，满足11()()nQfxdxfxdxmesQmesQR将每一Q等分成其边平行于坐标轴的2n个新立方体{}Q，则有两种可能：情形1.1()QfxdxmesQ情形2.1()QfxdxmesQ把出现情形2的Q归入kQ之类，显然至多可数且内部不交，并且成立：1()22nQnfxdxmesQ对于出现情形1的那些Q，将其每个如前做2n等分，并把出现情形2的归入kQ.如此继续下去，记,\nkkQFR那么，只须证明性质2）成立。事实上，对xF，都存在属于情形1的{}lQ满足：,0llxQlmesQ当l,1(),lQlfxdxlmesQ从而，根据关于测度导数的Lebesgue定理知：对..aexF有1()lim()llQlfxfxdxmesQ为了建立Newton位势的pL估计，我们需要证明奇异积分算子是强(,)pp型的，而这种奇异积分算子，归根结底是通过一类特殊的卷积型算子的极限来定义的。本节我们就来证明这类卷积型算子的强(,)pp型性质。定理3.5设1()()nKxLR满足1）,||||nKR，K是K的Fourier变换.2）||2||0()sup|()()|xJKKxKxdx.如定义*:()()()()nTfKfTfxKxfdR则对于(1,)p，T是强(,)pp型的，并且,,||||(,)max{||||,()}nspTcpnKJKR这条定理将分四步来证。第一步用Fourier变换，证明T是强（2,2）型，因此也是弱（2,2）型。第二步用Calderon-Zygmund分解引理，证明T是弱（1,1）型.从而，第三步用Marcinkiewicz内插定理，就立即可知T是强(,)pp型，(1,2)p.最后，第四步用共轭空间的关系，来证T是强(,)pp型，(2,)p。为了证明这条定理，我们需要2L-Fourier变换的若干知识：定义3.3设2()()nfxLR，定义f的Fourier变换为2()||ˆ()lim()ixyxNNfyefxdx引理3.6（2L-Fourier变换性质）1）Parseval等式成立：2,2,ˆ||||||||nnffRR2）卷积定理：ˆˆ*fgfg3）记()()fxfx，则1ˆnff定理3.5的证明：第一步：T是强（2,2）型的。注意2,2,2,,2,,2,ˆ||||||*||||||||||||||||||||||nnnnnnnRRTfKfKfKfKfRRRRR于是，由定义知T是强（2,2）型，,2,||||||||nsTKR.且据引理3.1，它也是弱（2,2）型的，还有22,2,2||||||||()nnTfKfRR第二步：T是弱（1,1）型的。对1()nfLR，将Calderon-Zygmund分解应用于|()|fx，知存在集合F和满足条件：nFR，F；|()|fx..ae于F；kkQ，立方体kQ互相间无公共内点，1()2nkkQfxdxmesQ，1,1||||||nfR.将()fx进行分解，即令()()1(),kkkQfxxFgxfxdxxQmesQ当当()()()bxfxgx这样我们有：|()|2ngx..ae于nR，|()|0bx于F；1()0kkQbxdxmesQ，22,1,1,1,;||||2||||;||||2||||nnnnnkgfbfRRRR。为此，只须注意：222,1,||||||2||2||||nnnnnnggdxgdxfRRRR；1,1,|||||()()|(||||)(||||)2||||nnkkkkkQQQQQkkkbfxgxdxfdxgdxfdxfdxfRR为证明T是弱（1,1）型，我们只须证明：存在常数c，使得1,||||()0nTfcfR由于对f的分解，我们有()()()22TfTgTb故只须估计右端二分布函数.首先由第一步和()gx的性质有22222,,1,2||||||||2||||||||()2()2nnnnTgKgKfRRR为估计()2Tb，做kQ的同心立方体，边长拉大2n倍，记其为*****,,\nkkkQQFR。那么**1,(2)||||(2)||(2)||||||nnnnkkkknQnQnfR这里||表示体积。设kx是kQ的中心，*kxQ，kQ，则有||2||kkxxx（3.4）令()()0kkbxxQbx当其它点处代替Tb考虑kTb有()()()(()())()kkkkkkQQTbxKxbdKxKxxbd于是由（3.4）**()()|()|sup|()()||()|()|()|cckkkkkkkkQQQQQTbxdxKxKxxdxbdJKbd从而，注意**()ckkFQ，得**1,()1|()||()|()|()|()2||||ncnkkFQkTbxdxTbxdxJKbdJKfRR这样一来，1,*2()||||{:|()|}22nJKfmesxFTbxR由此便得**(){:|()|}||{:|()|}222nTbmesxTbxmesxFTbxR1,1,14(2)||||()||||nnnnfJKfRR综合以上讨论有1,22,||||()(2||||(2)4())nnnnTffKnJKRR这恰为所要的估计，并且有22,1,||||2||||(2)4()nnnwTKnJKR第三步：T是强(,)pp型，(1,2]p.根据前两步的结果，利用Marcinkiewicz定理推出：对于(1,2]p，T是强(,)pp型，并且22,,||||()(2||||(2)4())nnnspTcpKnJKR再通过和Marcinkiewicz定理证明的最后部分相似的论证可知，实际上有,,||||(,)max{||||,()}nspTcpnKJKR第四步：T是强(,)pp型，对(2,)p.对任意()pnfLR，任取()p