正余弦函数的奇偶性与单调性

X学习目标:1.理解正、余弦函数的奇偶性、单调性的意义；2.会求简单函数的奇偶性、单调性;重点:正、余弦函数的性质难点:正、余弦函数的性质．复习:正弦、余弦函数的图象和性质x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)x6o--12345-2-3-41yy=cosx(xR)定义域值域xRy[-1,1]一、函数的奇偶性x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)设(x,y)是正弦曲线y=sinx(x∈R)上任意一点，即(x,sinx)是正弦曲线上的一点，它关于原点的对称点是(-x,-y)即(-x,-sinx)。由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，这个对称点就是(-x,sin(-x))。它显然也在正弦曲线上，所以正弦曲线关于原点对称，正弦函数是奇函数。奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图象关于原点对称。x6yo--12345-2-3-41y=cosx(xR)设(x,y)是余弦曲线y=cosx(x∈R)上任意一点，即(x,cosx)是余弦曲线上的一点，它关于y轴的对称点是(-x,y)即(-x,cosx)。由诱导公式cos(-x)=cosx可知，这个对称点就是(-x,cos(-x))。它显然也在余弦曲线上，所以余弦曲线关于y轴对称，余弦函数是偶函数。偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图象关于y轴对称。sin(-x)=-sinx(xR)y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函数x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性例1：判断函数奇偶性(1)y=-sin3xx∈R(2)y=|sinx|+|cosx|x∈R(3)y=1+sinxx∈R解:(1)f(-x)=-sin［3(-x)］=-(-sin3x)=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是奇函数。(2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是偶函数。(3)f(-x)=1+sin(-x)=1-sinxf(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。二、正弦函数的单调性y=sinx(xR)增区间为[，]其值从-1增至1xyo--1234-2-31xsinx…0………-1010-1减区间为[，]其值从1减至-1[+2k,+2k],kZ[+2k,+2k],kZ余弦函数的单调性y=cosx(xR)xcosx-……0……-1010-1增区间为其值从-1增至1[+2k,2k],kZ减区间为，其值从1减至-1[2k,2k+],kZyxo--1234-2-31例2.求下列函数的单调区间：y=3sin(2x-)单调增区间为所以：解：单调减区间为kZkZkZkZkZkZ例3不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()解：又y=sinx在上是增函数sin()sin()即：sin()–sin()0解：coscos即：cos–cos0又y=cosx在上是减函数cos()=cos=coscos()=cos=cos从而cos()-cos()0练习:小结：正弦、余弦函数的奇偶性、单调性奇偶性单调性（单调区间）奇函数偶函数[+2k,+2k],kZ单调递增[+2k,+2k],kZ单调递减[+2k,2k],kZ单调递增[2k,2k+],kZ单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1.直接利用相关性质2.复合函数的单调性3.利用图象寻找单调区间