2020高考热点与导数相结合的概率统计压轴题

与函数相结合的概率统计压轴题例1、一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为205pp，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为fp，求fp的最大值点0p；（2）以（1）中确定的0p作为p的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量X，求每盘游戏出现音乐的概率1p，及随机变量X的期望EX；（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解：（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为：213231363fpCppppp,3311fppp由0fp得13p或1p（舍）当10,3p时,0fp；当12,35p时,0fp,∴fp在10,3上单调递增,在12,35上单调递减,∴当13p时,fp有最大值,即fp的最大值点013p；（2）由（1）可知,013pp则每盘游戏出现音乐的概率为3111911327p由题可知193,27XB∴19193279EX；（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量,则的可能值为-300,50,100,150；∴33001Pp；213501PCpp；2231001PCpp；3150Pp；∴3212233330015011001150EXpCppCppp327300312ppp；令327312gpppp,则22713631022gpppp；所以gp在20,5单调递增；∴2205125gpg；即有0EX；这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.例2、某电子工厂生产一种电子元件，产品出厂前要检出所有次品.已知这种电子元件次品率为0.01，且这种电子元件是否为次品相互独立.现要检测3000个这种电子元件，检测的流程是：先将这3000个电子元件分成个数相等的若干组，设每组有k个电子元件，将每组的k个电子元件串联起来，成组进行检测，若检测通过，则本组全部电子元件为正品，不需要再检测；若检测不通过，则本组至少有一个电子元件是次品，再对本组个电子元件逐一检测.（1）当5k时，估算一组待检测电子元件中有次品的概率；（2）设一组电子元件的检测次数为X，求X的数学期望；（3）估算当k为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时检测的总次数（提示：利用(1)1npnp进行估算）.解：（1）设事件A：一组待检测电子元件中由次品，则事件A表示一组待检测电子元件中没有次品；因为510.01PA所以51110.011150.010.05PAPA（2）依题意，X的可能取值为1,1k10.99,110.99kkPXPXk分布列如下：X11kP0.99k10.99k所以的数学期望为：0.99110.9910.991kkkEXkk（3）由（2）可得：每个元件的平均检验次数为：10.991kkk因为10.991111110.99110.01110.010.01kkkkkkkkkkk当且仅当10k时，检验次数最小此时总检验次数130000.011060010（次）例3、某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段吋间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片，为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立.（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的可能性为0.7，设每个游客的利润为1Y（元），则1Y是随机变量，其分布列为：1Y15－5P0.30.71150.350.71EY元，则500个游客的平均利润为5000元；当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.30.05100.8，不被带走的可能性为0.2，设每个游客的利润为2Y（元），则2Y是随机变量，其分布列为：2Y5－5P0.80.2250.850.23EY元，则500个游客的平均利润为15000元；该项目每天的平均利润比调整前多10000元.（2）设降价x元，则015x„，照片被带走的可能性为0.30.05x，不被带走的可能性为0.70.05x，设每个游客的利润为Y（元），则Y是随机变量，其分布列为：Y15x－5P0.30.05x0.70.05x150.30.0550.70.05EYxxx20.05769x，当7x时，EY有最大值3.45元，即当定价为13元时，日平均利润为17250元.例4.某家畜研究机构发现每头成年牛感染病的概率是(01)pp，且每头成年牛是否感染病相互独立．（1）记10头成年牛中恰有3头感染病的概率是()fp，求当概率p取何值时，()fp有最大值？（2）若以（1）中确定的p值作为感染病的概率，设10头成年牛中恰有k头感染病的概率是()gk，求当k为何值时，()gk有最大值？解：（1）依题意，10头成年牛中恰有3头感染病的概率是733101fpCpp，且01p．则有76323103171fpCpppp632101310Cppp，令0fp，结合01p，解得0.3p．则当0,0.3p时，0fp；当0.3,1p时，0fp．即函数fp在0,0.3上单调递增，在0.3,1上单调递减，故当概率0.3p时，fp有最大值．（2）10头成年牛中恰有k头感染病的概率是10101kkkgkCpp（0,1,2,,10k），由（1）知0.3p，所以1010111110111kkkkkkgkCppgkCpp101101!11!10!1!10!10!1kkkkCppCpkkp111kpkp3.30.33.310.70.7kkkk，所以当3.30k，即3.3kkN时，11gkgk，1gkgk，所以当3k时，gk有最大值．例5、某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产515xx万件的该种产品所需要的总成本32231630910xCxxx（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在25.26,25.30，25.30,25.34，25.34,25.38，25.38,25.42，25.42,25.46，25.46,25.50，25.50,25.54（单位：mm）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m（元/件）与年产量x之间的函数关系如下表所示.产品品质立品尺寸的范围价格m与产量x的函数关系式优25.34,25.4634mx中25.26,25.343255mx差25.46,25.543205mx以频率作为概率解决如下问题：（1）求实数a的值；（2）当产量x确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；（3）估计当年产量x为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.解：（1）由题意得0.042342.54.531a，解得6a；（2）当产品品质为优时频率为10.04462.50.5p，此时价格为34x；当产品品质为中时频率为20.04230.2p，此时价格为3255x；当产品品质为差时频率为30.044.530.3p，此时价格为3205x；以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：34x3255x3205xp0.50.20.3（3）设公司年利润为fx，则323323340.5250.2200.3163055910xfxxxxxxx整理得323123092xfxxx，21131231233fxxxxx显然当5,12x时，0fx，12,15x时，0fx，∴当年产量12x时，fx取得最大值.12138f估计当年产量12x时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.例6、心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为13；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到12；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为14，求该选手在前3局获胜局数X的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sinsinsinABC、、，记、、ABC为锐角ABC的内角，求证：sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC+解：（1）依题意，可知X可取：0,1,2,3∴21190113424PX1111111118111111132434234424PX1111111115211132232434224PX11123232224PXPX∴随机变量X的分布列为：X0123P924824524224∴0852123124242424EX.（2）∵ABC是锐角三角形，∴0sin1,0sin1,0sin1ABC，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：1sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinPXABCABACBCABC由概率的定义可知：11PX，故有：sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC+例8、教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论