1.1.3导数的几何意义

1.1.3导数的几何意义定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是0000()()li.mlimxxfxxfxyxx,|)(00xxyxf或00000()()()limlim.xxfxxfxyfxxx即：我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作:回顾由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:00(1)()();yfxxfx求函数的增量00()()(2);fxxfxyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx取极限，得导数(2)00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称导数．000()()()()().yfxxfxfxfxx函数在点处的导数等于函数的导函数在点处的函数值什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f’(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.即:0'()kfx切线故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.1.求出函数在点x0处的瞬时变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf2.根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy求切线方程的步骤：练习线点点处线点处线318：已知曲y=x上一P(2,)，求：33(1)P的切的斜率；（2）P的切方程.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.D变式2．设y=f(x)为可导函数，且满足条件,则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为（）A．2B．－1C．D．－212)1()1(lim0xxffx21D根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1:.0()CC为常数0:(),()(),0,()lim0.xyyfxCyfxxfxCCxyfxCx解1)函数y=f(x)=c的导数.1.2.1常用函数的导数、导数公式及加减运算法则2.函数y=f(x)=x的导数，因为1xxxxxxfxxfxy.11limlim'00xxxyy所以y=xyxOy=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.3.函数y=f(x)=x2的导数xxxxxxfxxfxy22因为xxxxxx2222xx2.22limlim'00xxxxyyxx所以y=x2yxOy=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明:当x0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢;当x0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.4.函数y=f(x)=的导数x1xxxxxxfxxfxy11因为，xxxxxxxxxx21.11limlim'2200xxxxxyyxx所以探究画出函数的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.xy121-1-2-2-112xy5.函数y=f(x)=的导数xxxxxxxfxxfxy因为xxxxxxxxxx，xxx1.211limlim'00xxxxxyyxx所以公式2:.)()(1Qnnxxnn请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.Qn*Nn计算下列函数的导数(1)y=x4;(2)y=x-5;;)3(xy;1)4(2xy注意公式中,n的任意性.4x3-5x-62121x-2x-3基本初等函数的导数公式;0',.1xfcxf则若;',.21*nnnxxfNnxxf则若;cos',sin.3xxfxxf则若;sin',cos.4xxfxxf则若;ln',.5aaxfaxfxx则若;e',e.6xxxfxf则若;ln1',log.7axxfxxfa则若;1',ln.8xxfxxf则若小结、基本初等函数的导数公式（1）若f(x)=c,则f′(x)=_____;（2）若f(x)=xn(n∈R),则f′(x)=_;（3）若f(x)=sinx,则f′(x)=_____;（4）若f(x)=cosx,则f′(x)=_____;（5）若f(x)=ax,则f′(x)=____;nxn-1axlna(a0)cosx-sinx0（6）若f(x)=ex,则f′(x)=____;（7）若f(x)=logax,则f′(x)=_____(a0,且a≠1);（8）若f(x)=lnx,则f′(x)=____。exaxln1x1法则1:[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x);1:求下列函数的导数(1)y=x3+sinx(2)y=x4-x2-x+3.xxycos3'2124'3xxy(1)若c的一条切线L在y轴上截距为2，求L方程得a=16注意：设切点，求导数