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学业水平测试数学复习学案第17课时直线的方程及应用一.知识梳理1.倾斜角:直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜角,范围为,0。2.斜率:当直线的倾斜角不是900时,则称其正切值为该直线的斜率,即k=tan;当直线的倾斜角等于900时,直线的斜率不存在。过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan1212xxyy(若x1=x2,则直线p1p2的斜率不存在,此时直线的倾斜角为900)。3.直线方程的五种形式:必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk——斜率b——纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0,y0)——直线上已知点,k——斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(x1,y1),(x2,y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式ax+by=1a——直线的横截距b——直线的纵截距过(0,0)及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0BA,AC,BC分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零4.平行与垂直:若直线l1与l2的斜率分别为k1,k2。且两者不重合,则l1//l2的充要条件是k1=k2;l1l2的充要条件是k1k2=-1。5.两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)间的距离公式:|P1P2|=221221)()(yyxx。6.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式:2200||BACByAxd。7.直线系的方程:若已知两直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0,则过l1,l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0;与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0(1CC).二.课前自测1、过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是(A)(A)x-2y-1=0(B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0(D)x+2y-1=02、过点)3,2(P,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是10320或xyxy3.直线l经过点(3,-1),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线l的方程为42或yxyx4.无论k取任何实数,直线14232140kxkyk必经过一定点P,则P的坐标为(2,2)5.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y-1=0三.典例解析【例1】一条直线经过点P(3,2),并且分别满足下列条件,求直线方程:(1)倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍;(2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点,且△AOB的面积最小(O为坐标原点)解:(1)设所求直线倾斜角为θ,已知直线的倾斜角为α,则θ=2α,且tanα=41,tanθ=tan2α=158,从而方程为8x-15y+6=0(2)设直线方程为ax+by=1,a>0,b>0,代入P(3,2),得a3+b2=1≥2ab6,得ab≥24,从而S△AOB=21ab≥12,此时a3=b2,∴k=-ab=-32点拨:此题(2)也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值【练习1】直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段中点为P(-1,2).求直线l的方程.分析本题关键是如何使用好中点坐标,对问题进行适当转化.解:解法一设直线l交l1于A(a,b),则点(-2-a,4-b)必在l2,所以有4303(2)5(4)50abab,解得25ab直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x+y+1=0.解法二由已知可设直线l与l1的交点为A(-1+m,2+n),则直线l与l2的交点为B(-1-m,2-n),且l的斜率k=nm,∵A,B两点分别l1和l2上,∴4(1)(2)303(1)5(2)50mnmn,消去常数项得-3m=n,所以k=-3,从而直线l的方程为3x+y+1=0.解法三设l1、l2与l的交点分别为A,B,则l1关于点P(-1,2)对称的直线m过点B,利用对称关系可求得m的方程为4x+y+1=0,因为直线l过点B,故直线l的方程可设为3x-5y-5+λ(4x+y+1)=0.由于直线l点P(-1,2),所以可求得λ=-18,从而l的方程为3x-5y-5-18(4x+y+1)=0,即3x+y+1=0.点评本题主要复习有关线段中点的几种解法,本题也可以先设直线方程,然后求交点,再根据中点坐标求出直线l的斜率,但这种解法思路清晰,计算量大,解法一和解法二灵活运用中点坐标公式,使计算简化,对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程,解法三是利用直线系方程求解,对学生的思维层次要求较高。【例2.】已知两条直线1l:x+m2y+6=0,2l:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,1l与2l(1)相交;(2)平行;(3)重合?分析:利用垂直、平行的充要条件解决.解:当m=0时,1l:x+6=0,2l:x=0,∴1l∥2l,当m=2时,1l:x+4y+6=0,2l:3y+2=0∴1l与2l相交;当m≠0且m≠2时,由mmm3212得m=-1或m=3,由mm2621得m=3故(1)当m≠-1且m≠3且m≠0时1l与2l相交。(2)m=-1或m=0时1l∥2l,(3)当m=3时1l与2l重合。点拨:判断两条直线平行或垂直时,不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.【练习2】已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线1l:x+y+1=0和2l:x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。分析:可以求出直线l与两平行线的交点坐标,运用两点距离公式求出直线斜率解法一::若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与1l、2l的交点分别是A1(3,-4)和B1(3,-9),截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5,符合题意。若直线l的斜率存在,则设l的方程为y=k(x-3)+1,解方程组1031xyykx得A(,123kk-114kk)解方程组6031xyykx得B(173kk,-119kk)由|AB|=5得2323711kkkk+2419111kkkk=25,解之,得k=0,即所求的直线方程为y=1。综上可知,所求l的方程为x=3或y=1。解法二.设直线l与1l、2l分别相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0。两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5①又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25②联立①②,可得121250xxyy或121205xxyy由上可知,直线l的倾斜角为0°或90°,又由直线l过点P(3,1),故所求l的方程为x=3或y=1。点拨:用待定系数法求直线方程时,要注意对斜率不存在的情况的讨论.【练习3】.已知三角形ABC的三边方程分别为AB:43100xy,BC:20y,CA:3450xy.求:(1)AB边上的高所在直线的方程;(2)∠BAC的内角平分线所在直线的方程.解:(1)AB边上的高斜率为34且过点C,解方程组203450yxy得点C(133,2)所以AB边上的高方程为34210xy.(2)设P,xy为∠BAC的内角平分线上任意一点,则222243103454334xyxy解得7750xy或150xy,由图形知7750xy即为所求.
本文标题:学业水平测试数学复习教案--第17课时-直线的方程及应用
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