2015年高考真题(理科数学(新课标1卷)校对版含解析

-1-绝密★启封试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数z满足1+z1z=i，则|z|=（）（A）1（B）2（C）3（D）2（2）sin20°cos10°-cos160°sin10°=（）（A）32（B）32（C）12（D）12（3）设命题P：nN，2n2n，则P为（）（A）nN,2n2n（B）nN,2n≤2n（C）nN,2n≤2n（D）nN,2n=2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：1222yx上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若021MFMF，则y0的取值范围是（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（223，223）（D）（233，233）-2-（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）设D为△ABC所在平面内一点，CDBC3，则()（A）ACABAD3431(B)ACABAD3431(C)ACABAD3134(D)ACABAD3134(8)函数)cos()(xxf的部分图像如图所示，则)(xf的单调递减区间为（）（A）Zkkk),43,41(（B）Zkkk),432,412(（C）Zkkk),43,41(（D）Zkkk),432,412(（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8（10）52)(yxx的展开式中，25yx的系数为（）（A）10（B）20（C）30（D）60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20，则r()（A）1（B）2（C）4（D）8(12)设函数aaxxexfx)12()(,其中1a，若存在唯一的整数0x，使得0)(0xf，则a的取值范围是（）A.)1,23[eB.)43,23[eC.)43,23[eD.)1,23[e-3-第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若函数2ln()(xaxxxf为偶函数，则a；（14）一个圆经过椭圆141622yx的三个顶点，且圆心在x轴正半轴上，则该圆的标准方程为。（15）若yx,满足约束条件04001yxyxx则xy的最大值为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）Sn为数列{na}的前n项和.已知0na，3422nnnSaa。（Ⅰ）求{na}的通项公式：（Ⅱ）设11nnnaab,求数列nb的前n项和。（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）证明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值-4-（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。xyw81i（xI-x）281i（wi-w）281i（xi-x）(yi-y)81i（wi-w）（yi-y)46.65636.8289.81.61469108.8表中w1=1x，w=1881iw1（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1v1）,（u2v2）……..（unvn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：-5-（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=24x与直线)0(aakxy交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=31,()ln4xaxgxx(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；（Ⅱ）用min,mn表示m,n中的最小值，设函数()min(),()(0)hxfxgxx，讨论)(xh零点的个数.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E。（I）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（II）若OA=3CE，求∠ACB的大小.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1C:2x，圆2C：1)2()1(22yx，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求MNC2的面积（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数0|,|2|1|)(aaxxxf.（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)1的解集；（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围oBCAED-6-绝密★启封试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷二.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（2）设复数z满足1+z1z=i，则|z|=（）（A）1（B）2（C）3（D）2（2）sin20°cos10°-cos160°sin10°=（）（A）32（B）32（C）12（D）12【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.（3）设命题P：nN，2n2n，则P为（）（A）nN,2n2n（B）nN,2n≤2n（C）nN,2n≤2n（D）nN,2n=2n【答案】C【解析】p:2,2nnNn，故选C.（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C=0.648，故选A.-7-（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：1222yx上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若021MFMF，则y0的取值范围是（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（223，223）（D）（233，233）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则12384r=163r，所以米堆的体积为211163()5433=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.（7）设D为△ABC所在平面内一点，CDBC3，则()（A）ACABAD3431(B)ACABAD3431(C)ACABAD3134(D)ACABAD3134【解析】由题知11()33ADACCDACBCACACAB=1433ABAC，故选A.(8)函数)cos()(xxf的部分图像如图所示，则)(xf的单调递减区间为（）（A）Zkkk),43,41(（B）Zkkk),432,412(（C）Zkkk),43,41(（D）Zkkk),432,412(-8-（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8（11）52)(yxx的展开式中，25yx的系数为（）（A）10（B）20（C）30（D）60【解析】在25()xxy的5个因式中，2个取因式中2x剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y,故52xy的系数为212532CCC=30，故选C.（12）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20，则r()（A）1（B）2（C）4（D）8【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为22142222rrrrrr=2254rr=16+20，解得r=2，故选B.(12)设函数aaxxexfx)12()(,其中1a，若存在唯一的整数0x，使得0)(0xf，-9-则a的取值范围是（）A.)1,23[eB.)43,23[eC.)43,23[eD.)1,23[e第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若函数2ln()(xaxxxf为偶函数，则a；【解析】由题知2ln()yxax是奇函数，所以22ln()ln()xaxxax=22ln()ln0axxa，解得a=1.（14）一个圆经过椭圆141622yx的三个顶点，且圆心在x轴正半轴上，则该圆的标准方程为。【解析】设圆心为（a，0