第三章空间力系

§4-2空间力对点的矩和力对轴的矩§4-4空间任意力系的简化·主矢和主矩§4-1空间汇交力系§4-3空间力偶第四章空间力系结论与讨论§4-6重心§4-5空间任意力系的平衡方程空间力系平衡问题举例空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。可分为空间汇交力系，空间力偶系，空间任意力系。研究方法：与平面力系研究的方法相同，但由于各力的作用线分布在空间，因此平面问题中的一些概念、理论和方法要作推广和引伸。认识空间力系空间力系空间汇交力系§4-1空间汇交力系1.空间力的投影和分解coscoscosFFFFFFzyxOxyFz（1）直接投影法（一次投影法）yFzFxF平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？空间力系空间汇交力系yzOxFFxycossinsincossinFFFFFFzyx（2）间接投影法（二次投影法）222zyxFFFF（3）力沿坐标轴分解kFjFiFFFFFzyxzyxFFiFx),cos(FFkFz),cos(FFjFy),cos(空间力系空间汇交力系2.空间汇交力系的合成与平衡条件000zyxFFF空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。kFjFiFFFFFFziyixiniinR121平衡条件01niiRFF平衡方程222)()()(zyxRFFFFRxRFFiF),cos(RzRFFkF),cos(RyRFFjF),cos(空间力系空间汇交力系例题1求：绳的拉力和墙体的约束反力。OABCEPyxzFEFBFA解：取球体为研究对象045sinsin,0045cossin,00cos,0EByEAxEzFFFFFFPFF解得：tan22cos/PFFPFBAE空间力矩空间力系1.空间力对点的矩OA(x,y,z)BrFhyxz空间的力对O点之矩取决于：（1）力矩的大小；（2）力矩的转向；（3）力矩作用面方位。★须用矢量表征？大小：MO(F)=Fh=2△OAB§4-2力对点的矩和力对轴的矩作用面方位和转向？)(FMO空间力矩空间力系则矢量的大小为FrOABAFr2方向也可由右手螺旋法则确定故：FrFMO)(即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。OA(x,y,z)BrFhyxz)(FMO若以r表示矩心O到力F作用点A的矢径，空间力矩空间力系kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkjiFrFMxyzxyzzyxO)()()()()()()()()()(xyzOzxyOyzxOyFxFFMxFzFFMzFyFFMMO(F)定位矢量力对点之矩的解析表达式：kFjiFFkzjyixrzxyFOA(x,y,z)BrFhyxz)(FMO空间力矩空间力系2.力对轴的矩FxyzdFMzod逆时针＋，顺时针－FxyFxyFzF空间力矩空间力系BAFOxyzhFxybFz★力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。Mz(F)力对轴之矩合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。)()()()(xyOxyzzzzFMFMFMFMOAbxyzAhFFM2)(空间力矩空间力系力对轴的矩的特点：（1）力对轴之矩是代数量，逆时针为正，顺时针为负；（2）力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零；（3）当力沿其作用线移动时,它对于轴之矩不变。空间力矩空间力系yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxyxyzxyzyFxFFxFzFFzFyFF)()()(zyxMMMxyyOxOxyOzyFxFFMFMFMFM)()()()(力对轴之矩的解析表达式：kjiFFFFzyxzyxFFF空间力矩空间力系3.力对点的矩与力对轴的矩的关系)()]([)()]([)()]([FFFFFFzzOyyOxxOMMMMMM★力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkjiFrFMxyzxyzzyxO)()()()(xyzxyzyFxFFxFzFFzFyFF)()()(zyxMMM空间力矩空间力系FxyOABOAFM2)(OabOABAAcos)(cos)(FMFMzO)()(FMFMzzOOabxyOzAFMFM2)()(利用面积关系证明：空间力矩空间力系例题2已知：F、a、b、、,求:MO(F)。解：(1)直接计算zyxOFFFzyxkjiFrFM)(kFaFbjFaiFbFMO)cossinsinsin(sinsin)(sincoscos,sincos0,FFFFFFzbyaxzyx空间力矩空间力系kFaFbjFaiFbkFjFiFMFMxO)cossinsinsin(sinsin)()()()(zyMM(2)利用力矩关系cossinsinsin)(sin)(sin)(FaFbaFbFFMFaaFFMFbbFFMyxzzyzx空间力矩空间力系思考题FAFDBacb如图所示，长方体棱边CD上的力F对AB轴的力矩大小为?FcbabaFMAB222)()(FMAABAABFMFM)()(cos)(FaFMABAsinFa空间力偶空间力系§4-3空间力偶1.空间力偶·力偶矩矢空间力偶的三要素：（1）大小：力与力偶臂的乘积；（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：转动方向；2211FFFF空间力偶空间力系力偶矩矢FrFrFr)F,F(MMBABA空间力偶空间力系2.空间力偶的性质（1）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。推论1：只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。（2）空间力偶等效定理两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。空间力偶空间力系空间力偶等效定理证明空间力偶空间力系推论2：只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。空间力偶空间力系推论2：只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。定位矢量？力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量？空间力偶空间力系000iziyixMMM3.空间力偶系的合成与平衡kMjMiMMzyxiznzzzziynyyyyixnxxxxMMMMMMMMMMMMMMM212121合力偶矩矢：平衡条件01niiM平衡方程MMkMMMjMMMiMMMMMzyxzyx),cos(),cos(),cos(222inMMMMM21空间任意力系的简化空间力系§4-4空间任意力系的简化·主矢和主矩zABCF1F2F3OxyOyxzM22FM11FM33FxzyORFMOnnFF,,FF,FF2211)()()(nOnOOFMM,,FMM,FMM2211niiFF1R主矢1.空间任意力系向一点的简化主矩niiOFMM1)(O空间任意力系的简化空间力系OzOOyOOxOzyxOMFMkMMFMjMMFMiMMMMM)(),cos()(),cos()(),cos()]([)]([)]([222FFFRzRRyRRxRzyxRFFkFFFjFFFiFFFFF),cos(),cos(),cos()()()(222xzyORFOM空间任意力系的简化空间力系空间力系向任一点的简化意义空间任意力系的简化空间力系2.空间任意力系的简化结果分析′niiOOFMM1)(★由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。（1）空间任意力系简化为一合力偶的情形●0,0ORMF●0,0ORMF●0,0ORMF●0,0ORMF●0,0ORMF空间任意力系的简化空间力系oRFMoo1FRFR′′FRo1RFdo（2）空间任意力系简化为一合力的情形·合力矩定理合力的作用线通过简化中心●0,0ORMF●)(0,0ORORMFMF)()(iOORROFMMdFFM空间力系的合力矩定理：空间任意力系的简化空间力系ORFRFMoORFMoOORF力螺旋左螺旋右螺旋（3）空间任意力系简化为力螺旋的情形●)(0,0ORORMFMF∥空间任意力系的简化空间力系ORFMo′′Mo′OFRO1Mo′dORFMosincosOOOOMMMMROROFMFMdsin结论：一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋。（4）空间任意力系简化为平衡的情形原力系平衡●0,0ORMF且为一般状态●0,0ORMF空间任意力系的简化空间力系力螺旋应用实例空间任意力系的简化空间力系确定图示力系的简化结果1F3F2F平面椭圆A2F1F3F4F5F正方体A1F3F2F平面椭圆B2F1F3F4F5F正方体B空间任意力系的平衡方程空间力系0RF00M0)()()(222zyxRFFFF2220)]([)]([)]([FMFMFMMzyx§4-5空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件：000zyxFFF0)(0)(0)(FMFMFMzyx空间任意力系平衡的必要与充分条件:力系中所有各力在任意相互垂直的三个坐标轴上之投影的代数和等于零,以及力系对于这三个轴之矩的代数和分别等于零.还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。空间任意力系的平衡方程空间力系空间汇交力系的平衡方程：0,0,0zyxFFF空间平行力系的平衡方程：（取坐标轴z与各力平行）0,0,0yxzMMF空间力偶系的平衡方程：0,0,0zyxMMM000zyxF,F,F0)(0)(0)(FM,FM,FMzyx空间任意力系的平衡方程：空间力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间力系空间约束类型及其约束反力空间任意力系的平衡方程空间力系（1）空间铰链：（2）径向轴承：（3）径向止推轴承：（4）空间固定端：空间任意力系的平衡方程空间力系例题1图中胶带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2000N。已知胶带轮的直径D=400mm，曲柄长R=300mm，胶带1和胶带2与铅垂线间夹角分别为α和β,α=30o,β=60o，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。空间任意力系的平衡方程空间力系以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。060cos30cos,000,0060sin30sin,02121BxAxzyBxAxxFFFFFFFFFFFF列平衡方程解：空间任意力