非线性方程(组)的数值解法

第三章非线性方程(组)的数值解法一．取步长1h，试用搜索法确立3()25fxxx含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于310。【详解】因为是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。(0)5f，(1)5f，(2)1f，(3)16f，因此，(2,3)中有一个正根。这就确立了含根区间。接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于310，计算结果如下表迭代次数kakbkx0232.5122.50002.2500222.25002.1250322.12502.062542.06252.12502.093852.09382.12502.109462.09382.10942.101672.09382.10162.097782.09382.09772.095792.09382.09572.0947二．对方程2()2sin20fxxx，用二分法求其在区间1.5,2内的根，要求误差小于0.01。【详解】用二分法求解方程在1.5,2内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表：迭代次数kakbkx01.521.7511.75002.00001.875021.87502.00001.937531.93752.00001.968841.93751.96881.953151.95311.96881.9609三．用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程3()10fxxx在01.5x附近的根，要求误差小于610。【详解】310xx，等价于31xx。这样，可以建立不动点迭代格式311kkxx。当0x时，总有233110(1)(1)133xx，因此，迭代格式对于任意初始值00x总是收敛的。取01.5x，用所建立的不动点迭代格式求解近似根，要求误差小于610，计算结果如下表：迭代次数kx01.511.3572121.3308631.3258841.3249451.3247661.3247371.3247281.32472四．建立收敛的不动点迭代格式，求解方程3()250fxxx在2,3内满足精度要求810的根。【详解】方程恒等变形，得到325xx。这样，就得到了一个不动点迭代格式3125kkxx。当2,3x，233220(25)(25)133xx，且33332925252353x。因此，对任意02,3x，不动点迭代格式都收敛。选02.5x，用所建立的不动点迭代格式求方程在2,3的近似根，计算结果如下表迭代次数kx02.512.15443469022.10361202932.09592741042.09476054552.09458325062.09455630972.09455221582.09455159392.094551498102.094551484112.094551481五．为求方程3210xx在1.5x附近的一个根，将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代格式：(1)211xx，迭代格式为1211kkxx；(2)321xx，迭代格式为321xx；(3)211xx，迭代格式为111kkxx。讨论每种迭代格式的收敛性，并用格式(2)求出精度为210的根的近似值。【详解】(1)21()xx，32()xx，32(1.5)11.5，因此，该迭代格式在1.5x是局部收敛的。(2)32()1xx，2232()(1)3xxx，2232(1.5)1.5(11.5)13因此，该迭代格式在1.5x是局部收敛的。(3)1()1xx，31()2(1)xx，31(1.5)22(1.51)因此，该迭代格式在1.5x是不局部收敛的。现在用格式(2)求出精度为210的根的近似值，选01.5x，计算结果如下表：迭代次数kx01.511.481221.4727六．给定方程1()cos02fxxx(1)分析该方程有几个根；(2)用迭代格式11cos2kkxx求出这些根，要求误差小于310。【详解】(1)11(0)0cos0022f,1(1)1cos102f,因此，(0,1)内必有根。1()1sin02fxx，因此，()fx单调递增。这样，方程有且只有一个根。(2)1()cos2xx，1()12x，因此，对任意0x，迭代格式都是收敛的。取00x，用该迭代格式求解，要求误差小于310。计算结果如下迭代次数kx0010.500020.438830.452640.449650.4503七．用Newton法求解3()250fxxx在区间2,3内满足精度要求810的根。【详解】3()25fxxx，因此，其Newton迭代格式为312()25()32kkkkkkkkfxxxxxxfxx选初始值为02.5x，用Newton法求解方程在2,3内满足精度要求810的根，计算结果如下表：迭代次数kx02.512.16417910422.09713535632.09455523242.09455148252.094551482八．用Newton建立求解正数a的平方根a近似值的迭代算法，并求115满足精度要求310的近似值。【详解】a是方程20xa的正根，因此，计算a近似值的Newton迭代格式为211()22kkkkkkxaaxxxxx。以下用这个迭代格式求115满足精度要求310的近似值。考虑到1011511，我们可以取初始值010x。计算结果如下表：迭代次数kx010110.7500210.7238310.7238九．试导出计算1a的Newton迭代公式，使公式中既无开方运算又无除法运算，并取00.5x计算13满足精度要求310的近似值。【详解】1a是方程210xa的正根，自然也是方程210ax的根。计算1a的Newton迭代格式可以是23131()312()22kkkkkkkkkafxxxxxxaxfxx取00.5x计算13满足精度要求310的近似值，计算结果如下表：迭代次数kx00.510.562520.576830.5773十.用割线法求解3()250fxxx在区间2,3内满足精度要求810的根。【详解】3()25fxxx，由此，建立相应的割线法迭代格式如下311133111()(25)()()(25)(25)kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxfxxxxfxfxxxxx以下用该迭代格式求方程在区间2,3内满足精度要求810的根，选02x，13x，计算结果如下表：迭代次数kx021322.05882352932.08126366042.09482414652.09454943162.09455148172.094551482十一.给定非线性方程20.13.060xx(1)证明该方程只有唯一正根，并取步长1h搜索含有该正根的区间；(2)选定适当的初值分别用Newton法和割线法求解该正根，要求误差小于310。【详解】(1)3.0601，因此，按照一元二次方程的理论，方程有一正根，一负根。令2()0.13.06fxxx，则(0)3.06f，(1)10.13.062.160f，(2)40.23.060.740f，因此，(1,2)为含正根的区间。(2)Newton迭代格式为21()0.13.06()20.1kkkkkkkkfxxxxxxfxx割线法迭代格式为222111111()()(0.13.06)(0.13.06)()(0.13.06)kkkkkkkkkkkkkkkkfxfxxxxxxxfxxxxxxxx取01.5x，利用上面所建立的Newton迭代格式，求方程的近似解，要求误差小于310，计算结果如下表：迭代次数kx01.511.83103448321.80027038831.80000002141.80000000051.800000000取01x，12x，用上面建立的割线法求方程的近似解，要求误差小于310，计算结果如下表：迭代次数kx011221.74482758631.79697256441.80004853051.79999995861.80000000071.800000000