2019年广东省高考数学二模试卷(理科)

第1页（共25页）2019年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩（∁RB）＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|2≤x＜6}D．{x|2＜x＜6}2．（5分）设i为虚数单位，则复数的共轭复数＝（）A．B．C．D．3．（5分）在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）A．0.2B．0.25C．40D．504．（5分）设向量与向量垂直，且＝（2，k），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A．（1，8）B．（﹣16，﹣2）C．（1，﹣8）D．（﹣16，2）5．（5分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（）A．B．C．D．6．（5分）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）A．B．第2页（共25页）C．D．7．（5分）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若B＝C≠A，且b＝2acosA，则A＝（）A．B．C．D．8．（5分）的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A．30B．80C．﹣50D．1309．（5分）函数的部分图象不可能为（）A．B．C．D．10．（5分）若函数f（x）＝x3﹣kex在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．11．（5分）已知高为H的正三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角P﹣AB﹣C的正切值为4，则＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（f（x））＝m有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为（）A．[2，3）B．（2，3）C．[2ln2，4）D．（2ln2，4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.第3页（共25页）13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为．14．（5分）若tan（α﹣2β）＝4，tanβ＝2，则＝．15．（5分）已知函数f（x）＝3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为16．（5分）已知直线x＝2a与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C的离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且依次成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝∠DAB＝60°，E为AB中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝6y与直线l：y＝kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P的坐标；第4页（共25页）若不存在，请说明理由．20．（12分）2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．21．（12分）已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]第5页（共25页）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．[选项4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．（1）当k＝4时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式对x∈R恒成立，求k的取值范围．第6页（共25页）2019年广东省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩（∁RB）＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|2≤x＜6}D．{x|2＜x＜6}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【分析】求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．【解答】解：B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，则∁RB＝{x|x≥2或x≤﹣2}，则A∩（∁RB）＝{x|2≤x＜6}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．2．（5分）设i为虚数单位，则复数的共轭复数＝（）A．B．C．D．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．【解答】解：∵＝＝，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）A．0.2B．0.25C．40D．50【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有第7页（共25页）【分析】设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m＝200，由此能求出中间一组的频数．【解答】解：在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m＝200，解得m＝150，∴中间一组的频数为＝50．故选：D．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）设向量与向量垂直，且＝（2，k），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A．（1，8）B．（﹣16，﹣2）C．（1，﹣8）D．（﹣16，2）【考点】9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有【分析】根据即可得出，从而得出k＝﹣3，从而可求出，从而可找出与共线的向量．【解答】解：∵；∴；∴k＝﹣3；∴；∴；∴（﹣16，﹣2）与共线．故选：B．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．第8页（共25页）5．（5分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【分析】首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果．【解答】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，S＝3×+＝，r＝，几何体的体积为：＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（5分）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）A．B．第9页（共25页）C．D．【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．【解答】解：由题意可得：，解得a＝4，b＝3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．故选：A．【点评】本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．7．（5分）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若B＝C≠A，且b＝2acosA，则A＝（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sinB＝sin2A，可求B＝2A，或B＝π﹣2A，根据三角形的内角和定理即可得解A的值．【解答】解：在△ABC中，∵b＝2acosA，∴由正弦定理可得：sinB＝2sinAcosA＝sin2A，∴B＝2A，或B＝π﹣2A，∵B＝C≠A，∴当B＝2A时，由于A+B+C＝5A＝π，可得：A＝；当B＝π﹣2A时，由于A+B+C＝B+2A，可得：B＝C＝A（舍去）．综上，A＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．8．（5分）的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为第10页（共25页）（）A．30B．80C．﹣50D．130【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【分析】令x＝1得各项系数为3，求出n的值，结合展开式项的系数进行求解即可．【解答】解：令x＝1得各项系数和为（2﹣n）（1﹣2）5＝3，即n﹣2＝3，得n＝5，多项式为（2x2﹣5）（x﹣）5，二项式（x﹣）5的通项公式为Tk+1＝C5kx5﹣k（﹣）k＝（﹣2）kC5kx5﹣2k，若第一个因式是2x2，则第二个因式为x，即当k＝2时，因式为4C52x＝40x，此时2x2×40x＝80x3，若第一个因式是﹣5，则第二个因式为x3，即当k＝1时，因式为﹣2C51x3＝﹣10x3，此时﹣5×（﹣10）x3＝50x3，则展开式中x3项的为80x3+50x3＝130x3，即x3的系数为130故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，令x＝1求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键．9．（5分）函数的部分图象不可能为（）A．B．C．D．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有【分析】根据三