第五讲：拉格朗日和汉密尔顿

第五讲：LagrangianandHamiltonian这里我想揭开Hamiltonian的神秘面纱，还其本来面目：Hamiltonian可从Lagrangian推出；但有了Hamiltonian后，确实省事多了。下面我只是从形式上导出两者的关系，这不能算作证明。我比较注重的是帮大家增进理解。希望获得严格证明的可去听六堂的课或研究KamienandSchwartz的书。还是用上一讲的onecontrolvariableandonestatevariable的模型。0(4.1)Max()(4.2)Subjectto:(;)(4.3)(;)0,with(0)given.tUxedtzgxzfxzzρ∞−=≥∫(4.2)和(4.3)对每一时刻t都要成立。为了便于写Lagrangian,我们可将(4.2)改写为:()()(4.2a)Subjectto:(();())0ztdtztgxtztdt+−−=这里便是不严谨之处。我们时而将dt看作是趋向于零的(比如在上式中),时而把它当作某个固定的小数(比如在下面的推导中);看我们需要而定(这有点象牛顿-莱布尼兹开创微积分时的做法，微积分只有在εδ−语言之后才能严格起来)。现在就这个优化问题，写下Lagrangian，把积分号想象成求和号。[]000000()()(())()(();()()(();())()()(())()(();()()(();()()()()()ttttttztdtztLUxtedttgxtztedttfxtztedtdtztdtztUxttgxtzttfxtztedttedtdtztdtzHtedttρρρρρρμλμλμμ∞∞∞−−−∞∞−−∞−+−⎡⎤=+−+⎢⎥⎣⎦+−=++−+−=−∫∫∫∫∫∫0()ttedtdtρ∞−∫[说明]首先，()tμ是相对于（4.2a）时间t的限制条件的拉格朗日乘子（注意我们给()tμ乘上了tedtρ−，这和第三讲中将拉格朗日乘子乘上tβ是一个道理）。大家可以看到HamiltonianH(t)是怎么来的。下面要做的就是导出上一讲中那奇怪的一阶条件。一阶条件：先让L对控制变量x(t)求导并使它为零。由于x(t)仅出现在()Ht中，所以这等同于：()(4.5)0()Htxt∂=∂同样，让L对状态变量z(t+dt)求导并使它为零。这是就比较复杂了。因为z(t+dt)出现在3处：1.()()tdtHtdtedtρ−++2.()()()tztdtzttedtdtρμ−+−3.()()()()tdtztdtdtztdttdtedtdtρμ−+++−++结果我们得到：()()()()()()()()()()()0()tdtttdtHtdtztdtztedttedtztdtztdtdtztdtdtztdttdtedtztdtdtρρρμμ−+−−+∂+∂+−⎡⎤−⎢⎥∂+∂+⎣⎦∂++−+⎡⎤−+=⎢⎥∂+⎣⎦化简后得：()()()0()dtdtHtdtttdteeztdtdtdtρρμμ−−∂++⎡⎤⎡⎤−+=⎢⎥⎢⎥∂+⎣⎦⎣⎦注意到1whenissmallxexx≈+，所以1dtedtρρ−=−。将之带入上式，整理得：()()()()(1)()tdttHtdttdtdtdtztdtμμμρρ+−∂+⎡⎤=+−−⎢⎥∂+⎣⎦在上式中令dt趋向于零，得：()(4.6)()()Httztμρμ∂=−∂所以，只要记住(4.5)和(4.6)的不同之处，Hamiltonian就是一条安全的捷径。下一讲开始讲one-sectorgrowthmodel.