7-反函数(练习+详细答案)

提能拔高限时训练7反函数一、选择题1.若y＝f(x)有反函数,则方程f(x)＝a(a为常数)的实根的个数为()A.无实数根B.只有一个实数根C.至多有一个实数根D.至少有一个实数根解析:y＝f(x)存在反函数,则x与y是“一对一”的.但a可能不在值域内,因此至多有一个实根.答案:C2.设函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x),若f(x)＝2x,则f-1(21)的值为()A.2B.1C.21D.-1解析:令f(x)＝2x＝21,则x＝-1,故f-1(21)＝-1,故选D.答案:D3.若函数y＝f(x-1)的图象与函数1lnxy的图象关于直线y＝x对称,则f(x)等于…()A.e2x-1B.e2xC.e2x+1D.e2x+2解析:由函数y＝f(x-1)的图象与函数1lnxy的图象关于直线y＝x对称,可知y＝f(x-1)与1lnxy互为反函数,有1lnxy1lnyx1yexx＝e2y-2,所以y＝e2x-2y＝f(x-1)＝e2x-2.故f(x)＝e2x.答案:B4.已知函数f(x)＝2x+3,f-1(x)是f(x)的反函数,若mn＝16(m,n∈R+),则f-1(m)+f-1(n)的值为()A.-2B.1C.4D.10解析:设y＝2x+3,则有x+3＝log2y,可得f-1(x)＝log2x-3.于是f-1(m)+f-1(n)＝log2m+log2n-6＝log2mn-6＝-2.答案:A5.设函数xxf11)((0≤x＜1)的反函数为f-1(x),则()A.f-1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1B.f-1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0C.f-1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1D.f-1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0解析:由xxf11)((0≤x＜1),得该函数是增函数,且值域是［1,+∞),因此其反函数f-1(x)在其定义域上是增函数,且最小值是0.答案:D6.函数0,,0,22xxxxy的反函数是()A.0,0,2xxxxyB.0,0,2xxxxyC.0,0,2xxxxyD.0,0,2xxxxy解析:当x≥0时,y＝2x,且y≥0,∴2)(1xxf(x≥0).当x＜0时,y＝-x2且y＜0,∴xxf)(1(x＜0).∴函数0,,0,22xxxxy的反函数是.0,,0,2xxxxy答案:C7.(2009北京东城期末检测,7)已知函数24)(xxf在区间M上的反函数是其本身,则M可以是()A.［-2,-1］B.［-2,0］C.［0,2］D.［-1,0］解析:画出函数24)(xxf;由24xy得y2＝4-x2且y≤0,即x2+y2＝4,y≤0,所以图象是以(0,0)为圆心,以2为半径的圆在x轴下方的部分(包括点(±2,0));又y＝f(x)在区间M上反函数是其本身,故y＝f(x)图象自身关于y＝x对称,故区间M可以是［-2,0］.答案:B8.设0＜a＜1,函数)2(loglog)(1xxxfaa,则函数f-1(x)＜1的x的取值范围是()A.(0,2)B.(2,+∞)C.(0,+∞)D.(loga(2-a),+∞)解析:f(x)在(0,2)上是减函数,所以x＞f(1)＝0.故选C.答案:C9.设函数为y＝f(x)的反函数为y＝f-1(x),将y＝f(2x-3)的图象向左平移2个单位,再作关于x轴的对称图形所对应的函数的反函数是()A.21)(1xfyB.2)(11xfyC.2)(1xfyD.21)(xfy解析:由题意知,最后得到的图形对应的函数可以表示为y＝-f［2(x+2)-3］＝-f(2x+1),即-y＝f(2x+1),2x+1＝f-1(-y),21)(1yfx,故所求函数的反函数是21)(1xfy.答案:A10.已知函数,1,13,1,12)(xxxxxxf若函数y＝g(x)的图象与函数y＝f-1(x-1)的图象关于直线y＝x对称,则g(11)的值是()A.512B.913C.513D.1115解析:∵函数y＝g(x)的图象与函数y＝f-1(x-1)的图象关于直线y＝x对称,∴函数y＝g(x)与函数y＝f-1(x-1)互为反函数.由g(11)得f-1(x-1)＝11,∴x-1＝f(11),即x＝f(11)+1.∵57)11(f,∴512)11(g.答案:A二、填空题11.设f(x)＝x5-5x4+10x3-10x2+5x+1,则f(x)的反函数为f-1(x)＝_____________.解析:∵f(x)＝(x-1)5+2,∴12)(51xxf.答案:125x12.若函数)54(541axaxy的图象关于直线y＝x对称,则a＝_________.解析:∵54a,∴541xaxy不是常函数,且存在反函数.在f(x)的图象上取一点(0,51),它关于y＝x的对称点(51,0)也在函数f(x)的图象上,可解得a＝-5.答案:-513.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为f-1(x),则f-1(3x-2)的定义域为___________,值域为____________.解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数f-1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤3x-2≤3,解得31≤x≤35.故函数f-1(3x-2)的定义域为［31,35］,值域为［-1,1］.答案:［31,35］［-1,1］14.(2009河南南阳期末质检,14)定义在R上的函数y＝f(x)有反函数,则函数y＝f(x+1)+2与y＝f-1(x+1)+2的图象关于直线__________对称.解析:函数y＝f(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y＝f(x+1)+2,函数y＝f-1(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y＝f-1(x+1)+2,又y＝f(x)与y＝f-1(x)关于y＝x对称,y＝x沿向量(-1,2)平移得到y＝x+3,∴y＝f(x+1)+2与y＝f-1(x+1)+2关于y＝x+3对称.答案:y＝x+3三、解答题15.已知函数11)(xxxf,g(x)＝f-1(-x),求g(x).解:由11xxy,得xy-y＝x+1,∴11yyx,即11)(1xxxf.∴g(x)＝f-1(-x)＝11xx.16.已知函数f(x)＝2(1121xa)(a＞0且a≠1).(1)求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x);(2)判定f-1(x)的奇偶性；(3)解不等式f-1(x)＞1.解:(1)化简，得11)(xxaaxf.设11xxaay,则yyax11.∴yyxa11log.∴所求反函数为xxxfya11log)(1(-1＜x＜1).(2)∵)(11log)11(log11log)(111xfxxxxxxxfaaa,∴f-1(x)是奇函数.(3)111logxxa.当a＞1时，原不等式axx11011)1(xaxa.∴11aa＜x＜1.当0＜a＜1时，原不等式,011,11xxaxx解得.11,111xxaax或∴-1＜x＜aa11.综上，当a＞1时，所求不等式的解集为(11aa,1);当0＜a＜1时，所求不等式的解集为(-1，11aa).教学参考例题志鸿优化系列丛书【例1】设函数,0,1,0,0,0,1)(xxxxf若g(x)＝(x-1)2f(x-1),y＝g(x)的反函数为y＝g-1(x),则g(-1)·g-1(-4)＝___________.解析:由题意得.1,1,1,0,1,1)1(xxxxf∴g(x)＝(x-1)2f(x-1)＝.1,)1(,1,0,1,)1(22xxxxx设g(x)＝-4,可得-(x-1)2＝-4且x＜1,解得x＝-1.∴g(-1)＝-4.∴g-1(-4)＝-1.∴g(-1)·g-1(-4)＝-4×(-1)＝4.答案:4【例2】已知f(x)是定义在R上的函数,它的反函数为f-1(x).若f-1(x+a)与f(x+a)互为反函数且f(a)＝a(a为非零常数),则f(2a)＝____________.解析:设y＝f-1(x+a),则x＝f(y)-a,即y＝f-1(x+a)的反函数为y＝f(x)-a,∴f(x+a)＝f(x)-a.令x＝a,得f(2a)＝f(a)-a＝a-a＝0.答案:0