机床主轴结构的优化

1工程问题数学建模实习题目机床主轴结构优化学院机械工程学院专业机械设计制造及其自动化学生姓名唐齐、李艺凡、王明文学号2013101112404201310111410201310111414年级2013级指导教师董浩2目录摘要.................................................................................................................................................3关键词.................................................................................................................................................3一、问题重述.....................................................................................................................................3问题1..........................................................................................................................................4问题2..........................................................................................................................................4问题3..........................................................................................................................................4二、问题分析.....................................................................................................................................41、建立目标函数：...................................................................................................................42、用罚函数法求取最优点.......................................................................................................63、用MATLAB实现该问题的求解...........................................................................................71)建立目标函数zhou.m文件：...................................................................................72)建立非线性约束条件zhouc.m文件：.....................................................................83)在工作空间窗口输入：.............................................................................................84、用LINGO求解全局最优......................................................................................................91）简单的模型表示.........................................................................................................92）方便的数据输入和输出选择....................................................................................93）强大的求解器...........................................................................................................104）交互式模型或创建Turn-key应用程序..................................................................10总结...................................................................................................................................................12参考文献...........................................................................................................................................133摘要在设计机床主轴时，有两个重要因素需要考虑。一是主轴的自重；一是主轴外伸出端点的挠度。对于普通机床，并不最求过高的加工精度，对机床主轴的优化设计，以选取主轴的质量最轻为目标，外伸端的挠度为约束条件，建立数学模型。并通过LINGO和MATLAB及罚函数求出全局最优解，即满足挠度约束条件下的主轴质量最轻解。关键词机床主轴挠度质量优化设计LINGOMATLAB罚函数一、问题重述机床主轴一般多为空心轴，下图的主轴A，B两端支撑，C点为其伸出点。主轴的该主轴的设计变量为l，a，D。已知：d=30mm，外力F=15000N，许用挠度y0=0.05mm，以及150a90140D60650l300，，（单位：mm），试确定这三个变量，使主轴的质量最轻（假设主轴材料密度一定）。图14初始值问题1：建立主轴在满足许用挠度和各段长度条件下的数学优化模型；问题2：找出主轴满足的约束，如不超过许用挠度及主轴各段的长度条件等；问题3：求解这个优化模型，求解算法不限，给出连杆与从动件的数值。二、问题分析机床主轴是机床中重要的零件之一，一般多为支撑空心阶梯轴。为了便于使用材料力学进行结构分析，常常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。如图1所示是一个已经简化了的机床主轴。设计这根主轴时，得考虑两个重要的因素。一是主轴的自重；一是主轴伸出端c点挠度。对于普通机床，并不追求过高的加工精度，因此在对主轴进行设计时，一般选取主轴的自重作为目标函数，外伸端的挠度则作为约束条件考虑。以此建立数学模型。并通过LINGO和MATLAB及罚函数求出全局最优解，即满足挠度约束条件下的主轴质量最轻解。1、建立目标函数：图1为机床主轴变形简图，当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定，即孔径d、外径D、跨距l即外伸端长a。由于机床主轴内孔常用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定，不能作为设计变量。所以设计变量取为TTaDlxxxx][][321机床优化设计的目标函数则为4/))(()(22231dxxxxf式中——材料的密度。机床主轴的刚度是一个重要的性能指标，即其外伸端的挠度y不得超过规定y0，则有0)(0yyxg在外力F给定的情况下，挠度y是设计变量x的函数，其值可按下式计算：设计变量lDa初始值480100120下限值3006090上限值6501401505z23)(EIalFay式中）（44z64dDI则0)(3)(64)(04423123ydxExxFxxg此外，通常还应考虑主轴内最大应力不得超过许用应力。由于机床主轴对刚度要求比较高，当刚度满足要求时，强度尚有相当富裕，因此应力条件约束可以不考虑。另外，根据设计变量的取值范围有maxminmaxminmaxminaaaDDDlll综上所述，可将主轴设计的数学模型表示如下：4/))(()(22231dxxxxf01/)(3)(64)(044231231ydxExxFxxg01)(01)(01)(01)(min35max24min23min12axxgDxxgDxxglxxg在这里做如下假定：取主轴材料选45钢，查得=7.85g/cm3，E=206Gpa，主轴内径d=30mm，F=15000N，许用挠度y0=0.05mm，设计变量的初值为x1=480mm，x2=100mm，x3=120mm，上下限为300x1650，60x2140，90x3150。将上述数值代入得数学模型为：0901)(01140)(0601)(03001)(01)30()(89.9)(10)900)((165.6)(352423124423123162231xxgxxgxxgxxgxxxxxgxxxxf62、用罚函数法求取最优点该目标函数在可行域外性质较复杂，因此可以选择内点法求取最优点。内点法算法步骤:(1)构造障碍函数,选择初始点0x，初始点必须是内点;选择初始惩罚因子01r,惩罚因子的缩小系数C＜1;置k=1。(2)以1kx为初始点，求解无约束障碍函数})(1)(min{1miikxgrxf，设其极小点为kx。(3)如果||1kkxx,则kx就是所求的最优解。停机;否则转(4)。(4)置kkCrr1,k=k+1;转(2)。(2)针对车床主轴问题，首先构造障碍函数:00090901401406060300300)900()(89.9)900(10)900)((165.6),(32132214231234262231xpxpxpxrxrxrxrxxxxxrxxxrxpkkkkkk取初始惩罚因子1r=1，惩罚因子的缩小系数C=0.2使用迭代法求解如表1:表1Krkx1x2x31148010012020.2365.417482.6445114.491030.22333.303973.6699102.243840.23315.825068.912995.6997750.24307.261166.660192.5824...............180.217300.000264.800990.0002190.218300.000164.800990.0001200.219300.000064.800990.0000210.220300.000064.800990.0000经过21次迭代后，5110||kkxx求得最优解9323.7)(90.0000]64.80090000.300[*T*xfx3、用MATLAB实现该问题的求解MATLAB是matrix&la