高中三角函数最值问题难题

第1页共11页高中三角函数最值问题难题一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题例1：求函数y＝xxxxxxxxcot|cot||tan|tancos|cos||sin|sin的最值分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。解：（1）当x在第一象限时，有sincostancot4sincostancotxxxxyxxxx（2）当x在第二象限时，有sincostancot2sincostancotxxxxyxxxx（3）当x在第三象限时，有sincostancot0sincostancotxxxxyxxxx（4）当x在第四象限时，sincostancot2sincostancotxxxxyxxxx综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2.二、直接应用三角函数的有界性（sin1,cos1xx）解题例1：（2003北京春季高考试题）设M和m分别表示函数cos13x1y=的最大值和最小值，则Mm等于（）（A）32（B）32（C）34（D）-2解析：由于cosyx的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos13x1y=的最大值与最小值分别为32,34,即Mm＝32+（34）=-2,选D.例2：求3sin1sin2xyx的最值（值域）分析：此式是关于sinx的函数式，通过对式子变形使出现12sin3yxy的形式，再根据sin1x来求解。解：3sin1sin2xyx，即有sin23sin1sin3sin12yxyxyxxy12(3)sin12sin3yyxyxy。因为sin1x，所以222121212111333yyyyyy即22212332802340yyyyyy第2页共11页即423y，所以原函数的最大值是43，最小值是2。三、利用数形结合例：求cos2sin2xyx的最大值与最小值解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式2121yykxx将原式中的y看作是定点(,)Pxy与动点(sin,cos)Mxx连线的斜率，而动点(sin,cos)Mxx满足单位圆22sincos1xx，如上图所示。所以问题可转化为求定点(2,2)P到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得：min433y，max433y四、利用三角函数的单调性法例1：(1996全国高考试题)当x22，函数()sin3cosfxxx的最值(A)最大值是1，最小值是－1(B)最大值是1，最小值是12(C)最大值是2，最小值是－2(D)最大值是2，最小值是－1()sin3cos2sin()3fxxxx，因为x22，所以53x66，当x6时，函数()fx有最小值－1,最大值2，选择D例2：求sinsinsinxxyx（1+)(3+)=2+的最值及对应x的集合分析：观察式子可知它并不能直接求出，须通过变形为1sin2)sin2xxy（，但也不符合用平均不等式求，考虑用单调性。解答：sinsin1sin2)sinsin2xxyxxx（1+)(3+)=（2+令sin2xt，则xyM2OM1P(2,2)第3页共11页1()yfttt，且13t，设121213,()()ttftft121211()()tttt=1212121()()0tttttt()(1,3)ftt上单调递增，所以当1t时，min()0ft，此时sin1x，,2,.2xxxkkz当3t时，8()max3ft，此时sin1x，,2,2xxxkkz五、可化为一次函数ykxb，cxd的条件极值的三角函数式极值求法例1：求函数sinyabx(0)b的极值分析：由sin1x，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求sinyabx,11x，其中sinxx=,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。解：1）当0b时,,yabyab最大最小；2）当0b时,,yabyab最大最小；说例2：求函数22sinsincoscosyaxbxxcx的最值，其中0,0bc。分析：在这里不能将它变形为关于sinx或cosx为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即21cos2sin2xx，21cos2cos2xx，1sincossin22xxx，然后代入化简得到sin(),11yxyy最大最小，即可求出。解：因为1cos21cos2sin2222xbxyaxc1sin2()cos222acbxcax221()sin(2),22acbcax其中arctancab，且sin(2)1x，2222,22acabcacy最大222222acabcacy最小在这里22sinsincoscosyaxbxxcxsin2cos2yAxBx降次、整理第4页共11页六、可化为二次函数2(0)yaxbxcacxd且的条件极值的三角函数式的最值求法。例1：求函数22sin8sin5yxx最值分析：因为222sin8sin52(sin2)13,sin1,yxxxx故求y的最值，实质上是求以sinx为自变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。即当设sinx=X时，变为22(2)13yX在约束条件11X的条件极值。解：因为22(sin2)13,sin1,yxx当2sin23135,xy最大=1时,当2sin211311.xy最小=-1时,。七、换元法sincos,sincosxxxx（同时出现换元型）例1:函数sincossincosyxxxx的最大值是______.(1990年全国高考题)解析：如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积,常用换元法来解决问题,这种方法可简化计算过程。设sincosxx＝t,则t＝sincos2sin()4xxx,22t。21sincos2txx函数sincossincosyxxxx可化为221(1)122ttyt，2t时，函数最大值是122。说明：题目中出现sincosxx与sincosxx时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设sincosxx＝t则sincosxx＝212t。要特别注意换元后t的取值范围。例2：求函数sinsincoscosyxxxx的最值。解：设sincos2sin()(22)4txxxt则21sincos2txx于是21122ytt。故当2t时，即sin()14x时，min122y第5页共11页当1t时，即2sin()42x时，max1y八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题例1：求函数22tantan1tantan1xxyxx的最值。分析：由22tantan1tantan1xxyxx，令tanXx，则归为求221,1XXyXX（且x）的最值，故可用判别式法求之。解：由22tantan1tantan1xxyxx，22tantantantan1yxyxyxx2(1)tan(1)tan(1)0.yxyxy因为这个一元二次方程总有实数根，2221)4(1)(3103)yyyy（(3)(31)0.yy11.33y13,.3yy最大最小例2：（sincosaxcybxd型的函数）求函数3cos2sinxyx的最值（值域）。分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有cosx的一次式，而分母是含有sinx的一次式，不能直接解出cosx或sinx，通常是化作sin()()xfx求解。解法一：由3cos,2sinxyx得sin3cos2,yxxy23sin()2yxy（为辅助角）22sin(),3yxy因为1sin()1x得2211,3yy由此解得11y函数的值域为1,1说明：对此类问题可通过万能公式代换求解，还可通过几何方法（数形结合）求解，现介绍如下。解法二：令tan2xt，则22sin1txt，221cos1txt223()()2(1)tytRtt1-即33ytyty2(2+)+2+(2-)=0若3y2+=0,即32y=-,则t=-2满足条件若第6页共11页xyOQP1P23y2+0,即32y，则由33yyy2=4-4(2+)(2-)0，有32yy-11()函数的值域为1,1解法三：由3cos2sinxyx，得cos0sin(2)3yxx，设点(sin,cos)Pxx，(2,0)Q，则3y可看作是单位圆上的动点P与Q连线的斜率。如右图所示，直线1QP的方程为(2)ykx，即20kxyk，则圆心0,0)（到它的距离2211kdk，解得133k或233k。所以33333y，即11y，所以函数的值域为-1，1九、利用不等式1212nnnaaaaaan求最值（其中0,1,2,...,iain）利用上述不等式求最值时,(1,2,...,)iain必须满足下列条件:若n个正数(1,2,...,)iain的和一定时,当且仅当它们相等时,其积取最大值.若n个正数(1,2,...,)iain的积一定时,当且仅当它们相等时,其和取最小值.例1:当(0,)2,求sin(1cos)2y的最大值解析:因为(0,)2,所以(0,)24于是sin(1cos)2y=22sincos22所以22224sincoscos222y322232incoscos21622222()333s第7页共11页即163y说明：解答此题后有一个新的体会就是研究形如sincosmnyxx（,,mnN且02x）的值域是十分重要的,下面来看一下:已知函数sincosmnyxx（,,mnN且02x）,求其最大值.解:因为,,02mnNx，所以22(sin)(cos)mnyxx222222sinsinsincoscoscosmnxxxxxx个个2222221(sin)(sin)(sin)(cos)(cos)(cos)mnmnnxnxnxmxmxmxnm个个考察上式根号中的mn个因式之和为2222sin)(cos)(sincos)mnxnmxmnxxmn(。因而由平均值不等式得221(sincos)mnmnmnxxynmmn1()()mnmnmnmnmnmnnmmnmn当且仅当22sincosnxmx时，即tanmxn，亦即tanmxarcn时，等号成立故当tanmxarcn时，函数sincos(,,0)2mnyxxmnNx且有最大值()mnmnmnmn例2:求函数12(0)sincos2yxxx的最小值。分析：本题看似简单，但若直接求不容易，考虑02x，则0y。若求出2y的范围，则问题也就解决了。解：222212144()sincossinsincoscosyxxxxxx=2