角平分线的四大模型(Word版)

角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1如图，在四边形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A.40°B.45°C.50°D.60°模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习3已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。练习4已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。模型分析：构造次模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型敲门地把角平分线和三线合一联系在一起。例3：如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE．练习6如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C。练习7如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD平分∠BAC,BE⊥AD于E,求证：BE=12(AC−AB).模型四：角平分线+平行线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA//ON,交OM于点Q.则△POQ是等腰三角形.模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。例4：阅读并完成以下问题：已知,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于点E.F.当AB=AC,易证△BEO与△CFO为等腰三角形,则有EF=BE+CF.(如图1)①当AB≠AC,其他条件不变,如图(2)，则EF=BE+CF还成立吗?答：______.②当AB≠AC时,作∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.如图(3)，这时EF与BE、CF间的关系又如何呢?请写出并证明你的结论?③当AB≠AC时，作∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线或延长线交于O，过O点作BC的平行线，交AB延长线于E，交AC的延长线于F.请根据以上的要求画出图形，并直接写出这时EF与BE、CF间的关系?练习8如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N.若BM+CN=9，则线段MN的长是.练习9如图,在△ABC,AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上,且DE=CD,EF=AC,求证：EF∥AB.练习10如图,梯形ABCD中,AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE.(1)求证：BE平分∠ABC；(2)求证：AD+BC=AB；(3)若S△ABE=4，求梯形ABCD的面积。