矩形、菱形、正方形讲义

特殊平行四边形第一节矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。矩形性质为矩形长宽）、（面积公式轴对称图形；既是中心对称图形又是两条对角线相等；四个角为直角；有平行四边形性质；baabS矩形判定形；对角线相等的平行四边；三个角为直角的四边形形；有一个直角的平行四边【重点内容】①具有的一切性质；②内角都是直角；③对角线相等；④全等三角形的个数；⑤等腰三角形的个数；⑥对称轴的条数；⑦斜边中线定理；⑧平方等式；⑨两种面积计算方法；⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形；⑿对角线相等的→矩形.【典型例题】1、矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A．对角线相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对边相等2、（2015春•南京校级月考）下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）2A．1个B．2个C．3个D．4个3、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。4、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．5、（2015•南平）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．6、（2015•湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．ABOCD3巩固训练1、平行四边形没有而矩形具有的性质是（）A、对角线相等B、对角线互相垂直C、对角线互相平分D、对角相等2、矩形各内角平分线所围成的四边形是（）A、矩形B、平行四边形C、正方形D、菱形3、（2015•甘州区校级模拟）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量其中三个角是否都为直角4、顺次连结四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，可使四边形EFGH为矩形的是（）A、CDABB、BDACC、BDACD、AD//BC5、若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（）A．83cm2B．43cm2C．23cm2D．8cm26、矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，则AB的长是（）A．12B．22C．16D．267、（2015•宁化县模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．8、矩形的两条对角线的交角之一是60，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm，则对角线的长为，较短的边的长为，较长的边的长为。9、（2015春•遂宁期末）平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有，是菱形的条件有．（填序号）10、（2015•青羊区模拟）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．11、（2015•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．412、（2015•溧水县一模）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．13、（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．14、如图，矩形ABCD中，ABCDEBEFEBEF,,周长为22cm，CE=3cm，求：DE的长。15、（2015•得荣县三模）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．ABCEDF5菱形和正方形A因为ABCD是菱形.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD是菱形.B因为ABCD是正方形.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形ABCD是正方形.相关公式：（1）菱形的面积计算公式：平行四边形面积求法：S底×高（2）特殊求法：21S对角线的乘积6题型1、菱形的性质和判定1、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，较短对角线的长是，一组对边的距离为，面积是。2、（2015秋•兴化市校级期末）下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（）A．对角线互相平分的四边形B．对角线互相垂直且平分的四边形C．对角线相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形3、已知菱形ABCD的对角线AC=16cm,BD=12cm,DE垂直BC于点E，求DE的长。4、如图菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，AB=a，求：（1）ABC的度数。（2）对角线AC的长。（3）菱形ABCD的面积。5、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE=DF.求证：△ABE≌△DBF.6、（2015春•丹江口市期末）将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF的长．BECDAODCBEAOFCDEBA7题型2、正方形的性质和判定1、（2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．四条边相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．对角线相等2、（2015•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．3、正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD边上的点，且BFCE于M，求证：（1）ECBEBM；（2）AF=BE4、（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．5、（2015春•南安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．BACDEFM8巩固训练一、选择填空1、（2015春•淮北期末）下列判断中错误的是（）A．平行四边形的对边平行且相等B．四条边都相等且四个角也都相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线相等的平行四边形是矩形2、（2015•滨湖区二模）顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（）A．平行四边形B．对角线相等的四边形C．矩形D．对角线互相垂直的四边3、（2015•钦州）如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（）A．AC=ADB．BA=BCC．∠ABC=90°D．AC=BD4、（2015•本溪二模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定5、（2015春•万州区校级月考）下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（）①AC⊥BD②∠BAD=90°③AB=BC④AC=BD．A．①③B．②③C．②④D．①②③6、（2015•湘潭）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为．cm．7、（2015•江西模拟）如图，已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要使四边形AEDF称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是．8、（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．9、（2015•南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．910、（2015春•大石桥市校级期末）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为．11、（2015•吉林）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．12、（2015•长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．二、解答题13、（2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．14、（2015•北海）如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D，（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形．1015、（2013•山西模拟）如图，∠C=90°，DE垂直平分BC，AF=CE．（1）请你判断四边形AFEC的形状，并说明理由；（2）猜想：∠A的大小为多少时，四边形AFEC为菱形？（3）你认为四边形ACEF可能为正方形吗？16、（2015•秦淮区一模）已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．17、（2015•滨湖区校级二模）如图，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC=CF=EF，∠AEB=15°．（1）求∠ACF的度数；（2）证明：矩形ABCD为正方形．1118、（2015•莘县三模）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．19、（2015•遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．20、如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，2BE（1）如图2，延长EF交正方形外角平分线CPP于点，试判断AEEP与的大小关系，并说明理由；（2）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．21、（2011•营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在