金融数学——收益率-课件

1111收益率YieldRateYieldRateYieldRateYieldRate孟生旺中国人民大学统计学院2问题：已知一个项目的现金流，如何评价其收益的好坏？方法一：净现值法（netpresentvalue，NPV）净现值大于零，表示项目有利可图。净现值越大，表示项目的收益越好。0()ntttNPVivR===∑资金流入的现值－资金流出的现值1.1.1.1.现金流分析3方法二：收益率法当资金流入的现值与资金流出的现值相等时，所对应的利率i称为收益率（yieldrateyieldrateyieldrateyieldrate）或内部报酬率（internalrateofreturn，IRR）资金流入的现值与资金流出的现值之差就是净现值，所以收益率也是使得净现值为零的利率：收益率越大，表示项目的收益越高。0()0ntttNPVivR===∑4例::::如果期初投资20万元，可以在今后的5年内每年末获得5万元的收入。假设投资者A所要求的年收益率为7%，投资者B所要求的年收益率为8%，试通过净现值法和收益率法分别分析投资者A和投资者B的投资决策。解：（1）该项目的净现值为按A所要求的收益率7%计算，净现值为0.5万元，大于零，可投资。按B所要求的收益率8%计算，净现值为–0.036万元，小于零，不可投资。5|205a−+⋅5（2）如果令净现值等于零，即可以计算出该项目的收益率为7.93%，大于A所要求的收益率（7%），可行小于B所要求的收益率（8%），不可行5|2050a−+⋅=6例：下面的投资项目哪个更加有利：A）投资5年，每年的收益率为9％B）投资10年，每年的收益率为8％解：无法比较。项目A结束后，可以再投资5年，这时需要考虑再投资的收益率。结论：使用收益率来比较各种投资方案只有当所有方案的的投资期限都相同时才有效。7收益率的唯一性�思考：对于一组确定的现金流，它的收益率是否总是存在且唯一？�答案：由于收益率是高次方程的解，所以有可能不存在，也可能存在但不唯一。8例（不存在）：，求收益率。解::::净现值为由于，因此该方程无实数解，不存在收益率。012100,230,133RRR=−==−2()100230133NPVivv=−+−2(1)2.3(1)1.330ii+−++=22.341.330.03−×=−9ExampleExampleExampleExample（不唯一）：Consideratransactioninwhichapersonmakespaymentsof$100immediatelyand$132attheendoftwoyearsinexchangeforapaymentinreturnof$230attheendofoneyear.解：价值方程为因式分解得解得或。2100132230vv+=22100(1)132230(1)(1)2.3(1)1.320iiii++=++−++=[][](1)1.1(1)1.20ii+−+−=10%i=20%i=10013223010收益率唯一性的条件准则一：计算资金净流入，如果资金净流入只改变过一次符号，收益率将是惟一的。准则二：用收益率计算资金净流入的累积值，如果始终为负，直至在最后一年末才为零，那么这个收益率就是惟一的。（见下页例，收益率为9.98396%）11543333−1−10资金净流入Rt2015合计046–2.26415–4.12414–6.17413–8.43412–10.9111–10.00100资金净流入的累积值资金流入资金流出年度投资项目的资金流出和资金流入56210340ttvvv=−−++=∑12多重收益率情况下的净现值思考：当收益率不惟一时，无法用收益率比较投资项目的优劣。那么，是否可以用净现值比较呢？回答：不行。当收益率不惟一时，净现值不再是利率的单调递减函数。例：某人在第一年初向一基金投资1000元，在第一年末，他抽走年初投资的1000元本金，并从该基金中借出1150元，在第二年末，他向该基金偿还了1155元清帐。试计算该项投资的收益率。13解：该题的资金净流入可列示如下：时间：012净流入：–10002150–1155假设收益率为i，则根据题意可建立下述方程：–1000+2150(1+i)–1–1155(1+i)–2=0上述方程两边同时乘以(1+i)2，并变形可得：0]11)1(10][21)1(20[5=−+−+ii14�所以20(1+i)–21=010(1+i)–11=0�从此可以求得两个不同的收益率：5%和10%。�项目的净现值如下页图示。15�如果投资者要求5%以下的收益率，净现值小于零，项目不可行。�如果投资者要求5%~10%的收益率，净现值大于零，项目又是可行的！�如果要求10%以上的收益率，净现值小于零，项目又不可行。162.2.2.2.再投资收益率再投资：投资收入按新的利率进行投资。例：考虑两种可选的投资项目A）投资5年，每年的利率为9％B）投资10年，每年的利率为8％如果两种投资在10年期间的收益无差异，计算项目A在5年后的再投资收益率应为多少？5510(10.09)(1)(10.08)7.0%1ii⇒++=+=17例：有一笔1000万元的贷款，期限为10年，年实际利率为9%，有下面三种还款方式：本金和利息在第10年末一次还清；每年末偿还当年的利息，本金在第10年末归还。在10年内每年末偿还相同的金额。�假设偿还给银行的款项可按7％的利率再投资，试比较在这三种还款方式下银行的年收益率。18解::::（1）贷款在10年末的累积值为价值方程：i＝9％1010001.092367.36×=101000(1)2367.36i×+=19（2）所有付款在第10年末的累积值为价值方程：i=8.42%101000(1)2243.48i+=10|0.07100090100090(13.8164)2243.48s+=+=20（3）所有付款在第10年末的累积值为价值方程：i=7.97%101000(1)2152.85i+=10|0.0710|0.091000(155.82)(13.8164)2152.88sa⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦213.3.3.3.基金的利息度量：币值加权收益率((((dollar-weightedyieldratedollar-weightedyieldratedollar-weightedyieldratedollar-weightedyieldrate))))•基金的利息度量(Interestmeasurementofafund)(Interestmeasurementofafund)(Interestmeasurementofafund)(Interestmeasurementofafund)：–币值加权收益率(dollar-weightedyieldrate)：投资者–时间加权收益率(time-weightedyieldrate)：经理人22币值加权收益率：简单近似•假设：本金在当期的变化是平稳的。•符号（仅考虑一个时期）–期初的本金余额：A0–期末累积值：A1–当期产生的利息：I–期末的本金余额：(A1–I)–当期的平均本金余额：(A0+A1–I)/2•当期的收益率可近似表示为01012()/2IIiAAIAAI≈=+−+−23币值加权收益率：精确计算•假设：期初的本金为A0，在时刻t的新增投资为Ct，投资收益率为i，在期末的累积值可表示为（仅考虑一个时期）(1)0(1)(1)tttAiCi−+++∑注：时刻t的新增投资额Ct产生收益的时间长度为(1–t)用A1表示期末的累积值，则有(1)01(1)(1)tttAiCiA−+++=∑注：Ct0表示增加投资；Ct0表示减少投资。解此方程即可求得收益率i24币值加权收益率：近似计算•对于不足一个时期的新增投资，用单利代替复利，即令itit)1(1)1()1(−+≈+−(1)00(1)(1)(1)[1(1)]tttttAiCiAiCti−+++≈+++−∑∑则期末累积值可表示为1000()(1)(1)ttttttAACIiACtACt−+≈=+−+−∑∑∑001[(1)]()ttttiACtACA=+−++≈∑∑250(1)ttIiACt≈+−∑对近似公式的解释：（1）分母是加权平均本金余额，以本金产生利息的时间长度为权数。（2）如果进一步假设新增投资发生在期中，即t=0.5，则00.5ttIiAC≈+∑这就是前述最简单的一个近似公式。022ttIAC=+∑002()ttIAAC=++∑012()IAAI=+−26投资期限超过1111年的情形•已知投资期是从0到n，第n期末的累积值为An。第j期的新增投资为Cj，在复利方式下，第n期末的累积值为•通过数值方法可以解出币值加权收益率i。•注：当时，不能使用单利假设来近似计算。0(1)(1)nnjnjjAAiCi−=+++∑1nj−27•如果假设新增投资是连续的，即CCCCtttt是tttt的连续函数。用At表示时刻t的累积值，则•解释：在时刻t的累积值等于初始本金积累t个时期，加上新增投资Cs积累到时刻t。00(1)(1)tttstsAAiCids−=+++∫284.4.4.4.基金的利息度量：时间加权收益率（time-weightedratesofinteresttime-weightedratesofinteresttime-weightedratesofinteresttime-weightedratesofinterest）•币值加权收益率：–受本金增减变化的影响。而本金的增减变化由投资者决定。–可以衡量投资者的收益，但不能衡量经理人的经营业绩。•时间加权收益率：扣除了本金增减变化的影响后所计算的一种收益率。衡量经理人的业绩。29时间加权收益率（iiii）的一般公式121(1)(1)(1)(1)Tnijjj++=+++⋯期初的本金为A0。新增投资为Ck（k=1,2,…,n）,累积值为Ak。在期末T的累积值为AT305.5.5.5.收益分配•问题：–基金是由不同的个体投资者组成。–在每个年度末，如何把基金的利息收入分配给每个投资者？•分配方法：–投资组合法–投资年度法31投资组合法(portfoliomethods)(portfoliomethods)(portfoliomethods)(portfoliomethods)•适用情况：基金的收益率水平一直保持恒定•方法：按照基金的平均收益率，以及每个投资者的投资额和投资时间，向每个投资者分配利息收入。•例：如果基金的收益率一直保持在6%的水平，某个投资者的投资额是10000元，存入基金的时间是9个月，那么应该分配给他的利息收入应该是10000(1+0.06)0.75–10000=446.71（元）32•存在的问题：在短期内，简单易行。如果投资期限较长，收益率波动较大，可能存在问题。•例：–假设：基金在最近3年的平均年收益率为8％，–当年的收益率达到了10％，–如果对新投资者仍然以8％分配收益，–结果：可能会使其放弃对该基金的投资，或者不能吸引更多的新投资者。•如何解决？用投资年度方法分配收益。33投资年度法(investmentyearmethod)(investmentyearmethod)(investmentyearmethod)(investmentyearmethod)•适用情况：收益率波动较大。•方法：新存入的资金在若干年内按投资年度利率分配利息，而超过一定年数以后，再按组合利率分配利息。–投资年度利率：考虑投资发生日期的利率，投资发生的日期不同，投资年度利率是不同的。–组合利率：不同年度投资的平均利率。34投资年度利率：例7.5019977.808.0019967.908.008.0019957.707.607.507.507.507.507.5019947.607.557.507.357.357.357.357.25199319977.107.407.307.207.207.207.207.107.00199219966.857