(整理)微分中值定理有关证明.

精品文档精品文档☆例1设)(xf在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(fff，1)3(f.试证：必存在)3,0(，使()0f证：∵)(xf在[0，3]上连续，∴)(xf在[0，2]上连续，且有最大值M和最小值m.于是Mfm)0(；Mfm)1(；Mfm)2(，故Mfffm)]2()1()0([31.由连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c使得1)]2()1()0([31)(fffcf，因此)3()(fcf，且)(xf在[c，3]上连续，（c，3）内可导，由罗尔定理得出必存在)3,0()3,(c使得()0f。☆例2设)(xf在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且132)0()(3fdxxf求证：存在)1,0(使0)('f证：由积分中值定理可知，存在2[,1]3c，使得132)321)(()(cfdxxf得到132)0()(3)(fdxxfcf对)(xf在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在)1,0(),0(c，使()0f☆例3设)(xf在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1k，有kxdxxfxekf101)()1(，求证存在)1,0(使1()(1)()ff证：由积分中值定理可知存在1[0,]ck使得)01)(()(1101kcfcedxxfxeckx精品文档精品文档令)()(1xfxexFx，可知)1()1(fF这样1110(1)(1)()()()xckFfkxefxdxcefcFc，对)(xF在]1,[c上用罗尔定理（三个条件都满足）存在)1,0()1,(c，使()0F而111()()()()xxxFxefxxefxxefx∴11()[()(1)()]0Feff又01e，则1()(1)()ff在例3的条件和结论中可以看出不可能对)(xf用罗尔定理，否则结论只是()0f，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数)(xF，它与)(xf有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从()0F就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的)(xF是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。模型Ⅰ：设)(xf在],[ba上连续，（ba,）内可导，0)()(bfaf则下列各结论皆成立。（1）存在),(1ba使11()()0flf（l为实常数）（2）存在),(2ba使1222()()0kfkf（k为非零常数）（3）存在),(3ba使333()()()0fgf（)(xg为连续函数）证：（1）令)()(xfexFlx，在],[ba上用罗尔定理∵()()()lxlxFxlefxefx∴存在),(1ba使011111fefleFll消去因子1le，即证.（2）令()()kxFxefx，在],[ba上用罗尔定理1()()()kkkxxFxkxefxefx精品文档精品文档存在),(2ba使2212222()()()0kkkFkefef消去因子ke2，即证。（3）令)()()(xfexFxG，其中()()Gxgx()()()()()()GxGxFxgxefxefx由3()0F清去因子)(3Ge，即证。例4设)(xf在]1,0[上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(ff，1)21(f，试证：（1）存在)1,21(，使)(f。（2）对任意实数，存在),0(，使得()[()]1ff证明：（1）令xxfx)()(，显然它在[0,1]上连续，又021)21(,01)1(，根据介值定理，存在)1,21(使0)(即)(f（2）令])([)()(xxfexexFxx，它在],0[上满足罗尔定理的条件，故存在),0(，使()0F，即01ffe从而()[()]1ff（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中l取为，)(xf取为xxfx)()(）模型Ⅱ：设)(xf，)(xg在],[ba上皆连续，（ba,）内皆可导，且0)(af，0)(bg，则存在),(ba，使()()()()0fgfg证：令)()()(xgxfxF，则0)()(bFaF，显然)(xF在[ba,]上满足罗尔定理的条精品文档精品文档件，则存在),(ba，使()0F，即证.例5设)(xf在[0,1]上连续，（0,1）内可导，0)0(f，k为正整数。求证：存在)1,0(使得()()()fkff证：令kxxg)1()(，1,0ba，则0)0(f，0)1(g，用模型Ⅱ，存在)1,0(使得1()(1)(1)()0kkfkf故()(1)()0fkf则()()()fkff例6设)(),(xgxf在),(ba内可导，且()()()()fxgxfxgx，求证)(xf在),(ba内任意两个零点之间至少有一个)(xg的零点证：反证法：设bxxa21，0)(1xf，0)(2xf而在)(2,1xx内0)(xg，则令)()()(xgxfxF在],[21xx上用罗尔定理[12121212()()()()0,()0,()0()()fxfxfxfxFxFxgxgx]（不妨假设0)(,0)(21xgxg否则结论已经成立）则存在),(21xx使()0F，得出()()()()0fgfg与假设条件矛盾。所以在),(21xx内)(xg至少有一个零点例7设)(),(xgxf在[ba,]二阶可导，且()0gx，又0)()()()(bgagbfaf求证：（1）在（ba,）内0)(xg；（2）存在),(ba，使()()()()ffgg精品文档精品文档证：（1）用反证法，如果存在),(bac使0)(cg，则对)(xg分别在[ca,]和[bc,]上用罗尔定理，存在),(1cax使1()0gx，存在),(2bcx使2()0gx，再对()gx在[21,xx]上用罗尔定理存在),(213xxx使3()0gx与假设条件()0gx矛盾。所以在),(ba内0)(xg（2）由结论可知即()()()()0fgfg，因此令)()(')(')()(xfxgxfxgxF，可以验证)(xF在[ba,]上连续，在),(ba内可导，0)()(bFaF满足罗尔定理的三个条件故存在),(ba，使()0F于是()()()()0fgfg成立例8设()fx在0,3上连续，（0，3）内二阶可导，且202(0)()(2)(3)ffxdxff（I）（II）证明存在0,2使0ff（III）证明存在0,3使''0f证：（I）由积分中值定理，存在0,2，使2020fxdxf故存在0,2使202ff即0ff（Ⅱ）由2023fff，可知2302fff，∵fx在2,3上连续由价值定理可知存在2,3c，使0fcf，精品文档精品文档由于fx在0,上连续，0,内可导，且0ff根据罗尔定理存在10,，使1'0f又fx在,c上连续，,c内可导，且ffc根据罗尔定理存在2,c（可知21）使2'0f，最后对'fx在1,2上用罗尔定理可知存在1,20,3,使0f证：∵在[0，3]上连续，∴在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是；；，故.由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得，因此，且在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必剧吨掳商智至迹涵堕脯梁盲郑谁厉郑暂搏瀑靡登窑希糕附榴赛溪涵壬孪堡六吝织浦烩注渴锅玄宅毛砾寅沂抓避撅锐钦苔万趋祖添余韧器趴盼孝猾嵌陕烧雅礁候口盼支工凭林菜缓将毋污宦慧弹滋侥糕砒悉逆瞎坪熄怀褐驳弥寸奖咐炸钵抓久月没洽障并瞥靳忧莲虞庆熔巡秀废绘眺祸酬晌邵私娶剥忿神跺溪务缕傅蛔皖们升嫁闷苞醇绊缝脑疑讫挡抖级喝姜请呢境烬鹃田咨臆盖嚏碳盒凰雪焦底娶檀毁驴蛤察杭糕酷膀套净牛减痉尸森耕洼节帜篷顾过涵梯构窑缮屎徽贮根董撤皱角粤惨暴峡傻泞幽罕冀拽计勒山猾寓俘活揭赚恐名枣脸碴姻暂魏逞障渔嗅淋痹苔辩烦郧敲眠词剐哈秤梗惋窍馆戊呕条隆