物理有限元基本原理

1内容结构第一章概述第六章空间问题的有限单元法第七章轴对称旋转单元第五章等参元第四章平面结构问题的有限单元法第三章杆系结构静力分析的有限单元法第二章结构几何构造分析21.1有限单元法的概念1.2有限单元法基本步骤第一章概述3第一章概述1.1有限单元法的概念基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题。FiniteElementMethod-_FEMFiniteElementAnalysis4第一章概述三大类型(按其推导方法分):(1)直接刚度法(简称直接法):根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。(2)变分法直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。(3)加权余量法直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。51.2有限单元法基本步骤(1)待求解域离散化(2)选择插值函数(3)形成单元性质的矩阵方程(4)形成整体系统的矩阵方程(5)约束处理，求解系统方程(6)其它参数计算第一章概述6图1-2工程问题有限单元法分析流程第一章概述7第二章结构几何构造分析2.1结构几何构造的必要性2.2结构计算基本知识2.3结构几何构造分析的自由度与约束2.4自由度计算公式82.1结构几何构造的必要性结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。第二章结构几何构造分析9(a)结构本身可变(b)缺少必要的约束条件(c)约束汇交于一点图2-1几何可变结构第二章结构几何构造分析102.2结构计算基本知识2.2.1结构计算简图实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。结构计算所常用的结点和支座的简化形式:（1）结点：①铰结点；②刚结点；③混合结点。（2）支座：①活动铰支座；②固定铰支座；③固定支座；④定向支座第二章结构几何构造分析112.2.2结构的分类与基本特征(1)按结构在空间的位置分结构可分为平面结构和空间结构两大类(2)按结构元件的几何特征分①杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等。②板壳结构③实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。④混合结构第二章结构几何构造分析12(3)按结构自由度分①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征:a.静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。b.静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征（几何尺寸，形状）无关。c.静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力全为零。d.若静定结构在载荷作用下，结构中的某一部分能不依靠于其它部分，独立地与载荷保持平衡时，则其它部分的内力为零。e.当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时，结构的其余部分都无内力产生。f.当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时，其余部分的内力不变。g.当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时，其余部分的内力不变。第二章结构几何构造分析13②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特性：a.超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。b.超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而且与林料的力学性能和截面尺寸有关。c.超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的限制，结构内必将产生内力。d.超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持几何不变性，因而仍有一定的承载能力，不致整个结构遭受破坏。e.超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的静定结构具有较大的刚度和稳定性，在载荷作用下，内力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。第二章结构几何构造分析14第二章结构几何构造分析(1)具有奇数跨的刚架①正对称载荷作用2.2.3结构对称性的利用对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。(a)对称刚架（b)变形状态分析(c)对称性利用图2-22对称性利用示意图15②对称刚架承受反对称载荷作用(a)对称刚架(b)变形状态分析(c)反对称性利用图2-23反对称性利用示意图第二章结构几何构造分析16(a)变形状态分析(b)对称性利用图2-24对称性利用示意图(2)具有偶数跨的刚架①正对称载荷作用第二章结构几何构造分析17②反对称载荷作用(b)反对称性状态分析第二章结构几何构造分析(a)变形状态分析(c)反对称性受力分析(d)反对称性利用图2-25对称性利用示意图182.3结构几何构造分析的自由度与约束(1)自由度指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。(2)约束指减少结构自由度的装置，即限制结构结构运动的装置。a.支座链杆的约束b.铰的约束:①单铰；②复铰；③完全铰与不完全铰。第二章结构几何构造分析19第二章结构几何构造分析(1)桁架自由度计算公式一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种可能：a.W＞0表明结构缺少必要的约束，可运动，故结构必定是几何可变体系。b.W=0表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。c.W＜0表明结构具有多余约束。2.4自由度计算公式zgjW2zgjW3平面桁架空间桁架桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z，则桁架的自由度W为(2)平面混合结构的自由度计算公式203.1结构离散与向量表示第三章杆系结构静力分析的有限单元法3.2位移函数及单元的刚度矩阵3.3坐标变换及单元刚度矩阵3.4整体刚度矩阵3.5约束处理及求解3.6计算示例213.1结构离散与向量表示工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。(a)Liebherr塔式起重机(b)Liebherr履带式起重机(c)钢结构桥梁(d)埃菲尔铁塔图3-1杆系结构第三章杆系结构静力分析的有限单元法223.1.1结构离散化由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段(一根杆又分为几个单元)作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。杆系结构的离散化的要点可参考如下：a.杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。b.结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。变换为作用在结点上的等效结点载荷。第三章杆系结构静力分析的有限单元法23c.变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。d.对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。e.在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其第三章杆系结构静力分析的有限单元法(a)结点载荷处理方式(b)等效结点载荷处理方式图3-2杆系结构离散化示意图243.1.2坐标系图3-3坐标系示意图为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。第三章杆系结构静力分析的有限单元法253.1.3向量表示在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。(a)刚架结构示意图(b)结点位移和结点力分向量图3-4平面刚架分析示意图第三章杆系结构静力分析的有限单元法26TiiiivuTjjjjvu结点位移列向量为单元e结点位移列向量为Tjjjiiijieuu结点力向量为TeiiieiMVUFTejjjejMVUF单元e结点力列向量为TejjjiiiejeieMVUMVUFFF第三章杆系结构静力分析的有限单元法273.2位移函数及单元的刚度矩阵3.2.1轴向拉压杆单元的位移的函数有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求:a.单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。第三章杆系结构静力分析的有限单元法28由单元结点位移，确定待定系数项当时，当时，所以用结点位移表示其中、分别表示当，时；，时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。0xlxiuujuuiu1luuij2jjuiiuuNNxu)(lxNiu1lxNjuiuNjuN1iu0ju0iu1ju第三章杆系结构静力分析的有限单元法b.单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。c.单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。293.2.2梁单元平面弯曲的位移函数梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量，，，，由材料力学知,各截面的转角:故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数，，，的多项式单元结点位移条件当时，当时，iijjxv1234342321)(xxxxv0xivvixvlxjvvjxvjijijijiiilvvllvvlv234232112213第三章杆系结构静力分析的有限单元法3032233223223322112312231xlxlNxlxlNxlxlxNxlxlNjjviivjjjjviiiivNvNNvNxv)(ejjiijuiuNNNNNNvu000000eNf称为形函数矩阵。N第三章杆系结构静力分析的有限单元法313.2.3单元的应力应变在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。轴向应变为弯曲应变为y为梁单元任意截面上任意点至中性轴(x轴)的距离。得出平面刚架单元应变xulx22xvybx图3-5弯曲应变计算示意图22xvyxubxlxxexB则xllyxllylxllyxllylB232232621261641261——平面刚架梁单元的应变转换矩阵。BexxBEE第三章杆系结构静力分析的有限单元法323.2.4平面刚架梁单元的刚度矩阵梁单元的i，j结点发生虚位移为T*******jjjiiieuu单元内相应的虚应变应为exB**由虚功原理有