论文---浅谈行列式的计算方法

盐城师范学院毕业论文（设计）第1页共8页浅析行列式的计算方法刘欣（数学科学学院,2007（4）班，07211448）[摘要]行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍几种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法.[关键词]行列式加边法递推公式法行列式是线性代数中的一个基本工具.无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有直接或间接的联系，所以本文针对几种行列式的结构特点归纳了行列式计算的常用计算方法，并以实例加以说明.一、按照行列式的性质将行列式化成上三角(下三角或反三角)法运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式.行列式的性质告诉了我们该如何求行列式,而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换(列变换),变成阶梯形(上三角)的行列式,再根据定义计算即可.其计算步骤可归纳如下:(1)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,则均加到某一列(行)(2)有公因子的提出公因子.(3)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式.(4)由行列式的定义进行计算.由以上四步,计算一般行列式都简洁多了.例1计算行列式3214214314324321.解显而易见,该行列式的行和相等,知盐城师范学院毕业论文（设计）第2页共8页32102140143043203214214314324321111022203110432110321121411431432110例2计算n阶行列式abbbabbbaDn.解abbabbbnaDn1111bababbbna0000111)(1nbabna.二、行列式的乘法原理法行列式的乘法原理:对任意两个同阶矩阵A,B,都有BAAB,大家都知道,对于矩阵的乘法已是非常麻烦了.尤其是对高阶矩阵而言,其难度越明显.若按照常规办法,先计算AB再计算AB,显然过于烦琐.直接应用行列式的原理,就显得方便简洁.同样,如果D=AB,其中A,B为同阶方阵,则BAAB,从而达到优化计算的目的,应用行列式的乘法原理,主要是会将一个方阵拆成两个易计算行列式的同阶方阵,使矩阵的行列式计算简洁化.160400044003110432110盐城师范学院毕业论文（设计）第3页共8页例3设221;,2,1,0,jiijknkkkSakxxxS.),,3,2,1,(nji求ija.解22121110)(nnnnnijsssssssssa222211111122111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxn11221111121121111111nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx，由行列式的乘法原理：ija11221111121121111111nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxjiijjiijxxxx)()(2)(jiijxx.三、递推公式法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用.适用递推法计算行列式的行列式有以下规律：按照行列式的某一行（列）展开，会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，运用递推法逐层降阶，最终将计算出原行列式的值.运用递推法求解行列式，一般会用到两个公式:（1）若1nnpDD时，则11DpDnn（2）若2211nnnDADAD时，则122111nnntAtAD（其中1A，2A为待定系数）由（1）的计算过程显然易见，而（2）中却出现了两个未知数，1t,2t,这两个未知盐城师范学院毕业论文（设计）第4页共8页数可以通过0212AxAx的两根来确定.例4计算n阶行列式baabbabaabbaabbaDn00000000010001000.解将nD按第一行展开，得baabbabaababDbaDnn10000000001)(1，于是得到一个递推关系21)(nnnabDDbaD，变形得)(111nbnnbnDDaDD，易知)()(4333221nbnnbnnbnDDaDDaDDnnbnabababbaaDDa)()()(22122，所以1nnnbDaD，据此关系式在递推，有22121)(nnnnnnnDbbaabDabaDnnnnnnnnbabbaaDbbabaa1111221，如果我们将nD的第一行元素看作ba，1+0,…0+0,按第一行拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式如下：1nnnbDaD，同样可得nD的值.例5计算n阶行列式accbacbbaDn，其中0,bccb.解将nD的第一行视为cccca0,,0,)(，据行列式的性质，得accbacbbcacbabbcaaccbacbbccaDn0000盐城师范学院毕业论文（设计）第5页共8页因为11)()(nnnbacDcaD（1）由b与c的对称性，不难得到11)()(nnncabDbaD（2）所以联立（1），（2）解之，得nnnbaccabcbD)()()(1用递推公式法计算行列式，逻辑性较强，其适用于计算那些有一定规律但却十分费解的行列式.四、提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“aaa,,,型”.（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”.（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”.满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶.满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法.例6计算行列式nnnnaxaaaaxaaaaxD212121.解该行列式各行元素之和等于niiax1，属于“全和型”，所以nnnniinaxaaaxaaaxD2221111)(xxaaaxnnii00001)(21)(11niinaxxabbaabban1盐城师范学院毕业论文（设计）第6页共8页nba)(22.五、加边法计算行列式往往采用降阶的办法，但在一些特殊的行列式的计算上却要采用加边法。行列式的加边法是为了将行列式降阶作准备的.更有利于将行列式化成上三角的形式，其加边的元素，也可根据计算的难易程度来确定,具有随意性.例7计算行列式)(2132313212121000nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaD.解在不改变行列式的值的情况下，将行列式加一行，一列,得：))1()1((21212121210000001nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaD))1()1((222111211111nnnnnnaaaaaaaaaaaa)2(2221111111100001nnnnnaaaaaaaaaaa盐城师范学院毕业论文（设计）第7页共8页)2(2211212001020100211011101nnnnaaaaaaaaa)2(1211000002000021)(2100212121nnnanaaaaannnjjninjjiaananaan20000200002121000241211111nkknninjjiannaan111)2()21()24121(.行列式的计算方法最常见的便是以上几种，但有时也因其结构不同而有其他类型的解法（如：对角线行列式的解法）这里就不一一列举了.以上计算行列式的基本方法奠定了高等数学的理论基础，同时也为数学在现实生活中的广泛运用提供了理论依据.对于行列式的计算，往往由于方法的不同，难易繁简差别程度甚大，欲使计算过程简单明了，要善于选择适当的方法，掌握一定的技巧对这些技巧进行探讨归纳，不仅有课程建设的现实意义，而且有深刻的理论意义.【参考文献】[1]王品超.高等代数新方法.济南:山东教育出版社.1989,45-46[2]陈公宁,沈嘉骥.计算方法导引.北京师范大学出版社.2000,84-86[3]潘宴仲,李洪军.高等代数与几何.西安交通大学出版社.1999,88-114[4]王萼芳.高等代数教程习题集.清华大学出版社.1997,1-36盐城师范学院毕业论文（设计）第8页共8页[5]张远达.线性代数原理.上海:教育出版社.1980,1-44AnalysisoncalculationmethodofdeterminantLiuxin[Abstract]Thedeterminantisoneofthehigheralgebracurriculumbasicandimportantelement,inthemathematicshasawiderangofapplications,knowhowtocalculatethedeterminantofisparticularlyimportant.Thisarticlefirstsetoutbasicpropertiesofdeterminant,andthendescribesseveralspecificmethods,finallybythedeterminantandotherknowledgelinksdescribesseveralothermethods.[KeyWords]determinant,borderedmethod,recursiveformulamethod