常见离散型随机变量的分布

第四节常见离散型随机变量的分布一、两点分布三、泊松分布二、二项分布四、几何分布一、两点分布1()(1),(0,1)kkPXkppk则称X服从参数为p的两点分布，或参数为p的0-1分布.在一次伯努利试验中，若成功率为p，成功的次数X的分布为两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.两点分布的期望与方差设X服从参数为p的0-1分布，则有Xkp0p11p()EXp2()EXp222()()[()](1)DXEXEXpppp若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率为p(0p1),独立重复进行n次,这n次中实验成功的次数（事件A发生的次数）X的分布列为:()(1)0,1,2,...,kknknPXkCppkn记为X~B(n,p)或X~b(n,p).称X所服从的分布为二项分布.二、二项分布二项分布X的分布列表（q=1-p)1101nnkknknnnXknPqCpqCpqp二项分布1n两点分布则说明：若),,(~pnBX例1某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布.P(X=0)=0.01024P(X=1)=0.0768P(X=3)=0.3456P(X=4)=0.2592P(X=5)=0.07776P(X=2)=0.230455()0.6(10.6)0,1,2,3,4,5kkkPXkCk~(,)XBnp解:n=5,p=0.6例如:一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,取得合格品件数X,以及取得不合格品件数Y均服从分布为二项分布.X对应的实验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=0.8,所以,X~B(4,0.8)类似,Y~B(4,0.2)若A和是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”可以指二者中任意一个,p是“成功”的概率.A二项分布的期望与方差~(,)Xbnp注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。则次试验失败如第次试验成功如第iiXi01.,,2,1ni12nXXXX~(01)iX分布1212()nnEXEXXXEXEXEXnp)1(,ppDXpEXii1212()(1)nnDXDXXXDXDXDXnppnpq例2设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E(X2)=()18.4有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?),0001.0,1000(~bX10001999100010.99990.00010.9999C设1000辆车通过,出事故的次数为X,则解例3故所求概率为}1{}0{1}2{XPXPXP二项分布泊松分布)(nnp).(P~,.0,,2,1,0,!e}{,,2,1,0XXkkkXPk记为布的泊松分服从参数为则称是常数其中值的概率为而取各个的值为设随机变量所有可能取三、泊松分布例4、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知21XPXP解：随机变量X的分布律为．试求4,XP，，，210!kekkXPk由已知21XPXPee!2!121由此得方程022得解．2不合题意，舍去另一个解0所以，24!424eXP232e09022.0例5一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=4的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数λ=4的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P(X≤m)0.95的最小的m.进货数销售数求满足P(X≤m)0.95的最小的m.查泊松分布表得也即于是得m=8（件）.95.0!0miiei700.948847!iiei800.978637!iiei泊松分布的期望与方差~()XP00(){}e!kkkEXkPXkkk11e(1)!kkkee2200(){}[(1)]e!kkkEXkPXkkkkk222e()(2)!kkEXk2ee22222()()[()]DXEXEX()EX()DX历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.二项分布与泊松分布的关系lim0,nnnp在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中发生的概率为pn(与试验次数n有关),则成功次数X服从二项分布，当则对于任何非负整数k，有lim{}lim(1)!kkknknnnnnPXkCppek泊松定理：泊松定理的应用比较小时，比较大，则当pnnp令：knkknppCkXP1则有ekk!由Poisson定理，可知若随机变量X～b(n,p)设1000辆车通过,出事故的次数为X,则可利用泊松定理计算,1.00001.01000所求概率为10.101e0.0047.!iii解}2{XP}1{}0{1}2{XPXPXP),0001.0,1000(~bX例3有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?10001999100010.99990.00010.9999C例6某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他命中的概率是p，求射击次数X的概率分布.解:X可能取的值是1,2,…P(X=1)=P(A1)=p,计算P(X=k)，Ak={第k发命中}，k=1,2,…，设于是(1)pp12(2)()PXPAA123(3)()PXPAAA2(1)pp1()(1)1,2,kPXkppk所求射击次数X的概率分布为：四、几何分布1()(1),(1,2,)kPXkppk则称X服从几何分布，记作~()XGep在独立重复伯努利试验中，若成功率（事件A发生的概率）为p，如果X为首次成功（事件A首次发生）时的试验次数，X的分布列为例如设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数X是一个随机变量,则X服从几何分布.,1,qpXkpk21pqppqk1说明几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.几何分布的分布列概率分布P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…,n其中0p1,记q=1-p111()kkkEXkPXkkpq1)'(kkqp1)'(kkqp)'1(qqpp1求和与求导交换次序几何级数求和公式几何分布的期望和方差将q看成变量DX=EX2-(EX)22211kkEXkpq])1([1111kkkkkqqkkp1()kkqpqEXpqqqp1)1(pqqp1)1(23ppq12222pp2221ppp221pqpp1()EXp2()qDXp几何分布的无记忆性~()XGep对任意正整数n，m，有(|)()PXmnXmPXn若在前m次试验中都没有成功（事件A都没有发生），则继续n次试验仍未成功（事件A仍未出现）的概率只与n有关，而与以前的m次试验无关.该定理表明：