合情推理与演绎推理合情推理.ppt

2.1合情推理与演绎推理2.1.1.合情推理1.推理是人们思维活动的过程，是根据一个或多个已知的判断来确定一个新的思维过程。一、推理的定义及分类2.日常生活中的例子⑴看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象。我们会推断—天要下雨啦；⑵某同学今天没有来上课。⑶谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”。等等。3.分类：演绎推理合情推理推理二、合情推理我们会推断—某同学生病啦；类比推理归纳推理合情推理哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一个=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。1、归纳推理：歌德巴赫猜想的提出过程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”即:偶数＝奇质数＋奇质数改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，1000＝29+971，8＝3+5，1002=139+863,10＝5+5,…12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明简之：由部分到整体，由个别（特殊）到一般的推理。（结论只是猜测）例如：由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳出“一切金属都导电”；由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和是1800，归纳出“所有三角形的内角和都是1800。归纳推理的一般步骤：⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想。具体问题实验观察经验归纳猜想结论证明归纳推理的基础观察、分析归纳推理的作用发现新事实、获得新结论注意归纳推理的结论不一定成立例1:已知数列{an}的第1项a1=1且(n=1,2,3…),试归纳出这个数列的通项公式.nn+1naa=1+a分析：数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系。为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项；然后，再根据其特征归纳推理出它的通项公式。解：当n=1时，a1=1;当n=2时，;211112a当n=3时，31211213a当n=4时，41311313a观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：nan11、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.鲁班的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇.2、类比推理：火星地球相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命火星上可能有生命猜想火星上是否有生命？相似点:试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性质：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．类比推理的定义:简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的特点：1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.类比推理的一般步骤:观察、比较联想、类推猜想新结论类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；⑵用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；⑶检验猜想。类比推理的作用类比推理的特点以旧的知识为基础,推测新的结果，具有发现的功能由特殊到特殊的推理类比推理的结论不一定成立注意提示：一定成立；不一定成立．想一想1.归纳推理所归纳的结论对已考定过的对象一定成立吗？对未被考定的对象一定成立吗？提示：(1)猜想和发现结论；(2)提供证明的思路和方向．2.合情推理在数学上有什么作用？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆弦直径周长面积球截面圆大圆表面积体积圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圆的性质类比得出球的性质球的体积34V=πR3球的表面积2S=4πR圆的周长S=2πR圆的面积2S=πR例3类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若a,b∈R,则a+b∈R运算律(交换律和结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a单位元a+0=a若a,b∈R,则ab∈Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/aa·1=a通过例2，例3你能得到类比推理的一般模式吗？类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d’.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a’,b’,c’,(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象基本原则是：要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象。思考：平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象构成几何体的元素数目：三角形四面体平面图形（二维）立体图形（三维）点点或线线线或面平面直角坐标系空间直角坐标系直角三角形∠C＝90°3个边的长度a，b，c2条直角边a，b和1条斜边c类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．3个面两两垂直的四面体∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和S3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S例4：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．ＡＢＣabcoABCs1s2s3c2=a2+b2S2△ABC=S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC猜想:例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动1个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3123当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=3时,a3=7当n=4时,a4=15猜想an=2n-1123类比推理由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测新的结果；结论不一定成立.归纳推理由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础,推测新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立.具有发现的功能;小结☞归纳推理和类比推理的过程从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理归纳推理类比推理1．归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功能．在数列问题中，常用归纳推理猜测、求解数列的通项公式．2．类比推理的关键是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，为了提高所得结论的准确性，常采用下列技巧(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．方法感悟课堂小结：1、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：原问题类比问题原问题解法类比问题的解法猜想类比2、运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象。小结1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，应用归纳推理可以发现某类事物的一般规律，获得新结论，但它不能作为数学证明的方法.2.类比推理是由特殊到特殊的推理，它可以由已经解决的问题和获得的结论出发，通过类比而提出新问题和作出新发现，但它也不能作为数学证明的方法..3.由归纳推理和类比推理得到的结论只是一种猜想，所得的结论不一定正确，但可以为我们的研究提供一种思路和方向.