第九章时间序列分析预测法

定量预测概述定量预测又称数学模型预测法。它是运用一定的统计和数学方法，通过建立数学分析模型来描述和预测事物变化发展规律的一种预测方法。因此有两个明显的特点：受人的主观因素影响较小，结果比较客观；对数据的要求、预测者专业能力的要求比较高由时间序列预测方法和回归分析预测方法两大类组成。定量预测方法时间序列预测法回归分析预测法算术平均预测（简单、移动、指数平滑）季节分析预测（水平、趋势变动）马尔可夫预测（市场占有率预测）趋势预测（直线拟合、指数曲线拟合）一元线型回归预测多元线型回归预测非线性回归预测自相关回归预测最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及。古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就构成所谓的时间序列。对这个时间序列长期的观察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律。由于掌握了尼罗河泛滥的规律，使得古埃及的农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。9.1时间序列预测法概述时间序列预测方法，是把统计资料按时间发生的先后进行排序得出的一连串数据，利用该数据序列外推到预测对象未来的发展趋势。一般可分为确定性时间序列预测法和随机时间序列预测法。确定性时间序列法有：移动平均法、指数平滑法、差分指数平滑法、自适应过滤法、直线模型预测法、成长曲线模型预测和季节变动预测法等等。随机时间序列是通过建立随机时间序列模型来预测，方法和数据要求都很高，精度也很高，应用非常广泛。时间序列预测法的优缺点优点：在分析现在、过去、未来的联系时，以及未来的结果与过去、现在的各种因素之间的关系时，效果比较好。数据处理时，并不十分复杂缺点：反映了对象线性的、单向的联系预测稳定的、在时间方面稳定延续的过程并不适合进行长期预测9.2移动平均预测法9.2.1算术平均数法（MethodofSimpleAverage）大前前昨今明预测模型：适用范围：预测对象的历史数据呈水平型变动状态，逐期增长量大体相同的情况；短期预测；可推广应用趋势型变动的历史数据。已知未知1999~2006年我国水电消费量在能源消费总量中所占的比重如下表所示，使用算术平均法预测2007年水电消费量在能源消费总量中所占的比重。年份19992000200120022003200420052006比重(%)4.95.14.84.95.25.76.15.9解：根据预测模型即我国2007年水电消费在能源消费总量中所占比重为5.3%。案例9.2.2简单移动平均预测移动平均预测（MethodofSingleMovingAverage）是利用过去若干期实际的平均值，来预测当期的值。方法上与算术平均法类似。比如，1992~1996年我国市镇人口在总人口所占的比重如表所示，试推广应用移动平均法预测1997年我国市镇人口在总人口中所占的比重。年份19921993199419951996比重(%)27.6328.1428.6229.0429.371992~1996年市镇人口在总人口中所占比重分别为27.63%、28.14%、28.62%、29.04%和29.37%，平均比重为：则1997年市镇人口在总人口中所占比重为：28.56%一般可以通过比较预测均方差（MSE）和绝对均差（MAE），来分析预测的误差。简单移动平均预测的明显缺点是：它假设平均数内的各项观察值对于未来都具有相同的影响，但一般在实际中，往往是越接近预测期的观察值对未来的影响越大，因此又有其它方法来修正。9.2.3加权移动平均预测根据时间顺序排列的历史数据，每个数据对预测值的重要性是不同的，将各个数据赋予不同的权重，可以更准确的预测。往往会对于离预测期越近的数据赋予越大的权重。这样可以更接近事物真实的发展趋势。案例2001~2006年我国原煤占能源生产总量的比重如表所示，若给予2001~2006年原煤占能源生产总量比重的权数分别为1、2、3、4、5、6，试预测2007年原煤所占的比重。年份200120022003200420052006比重(%)74.174.374.074.675.374.8根据预测模型可得：即2007年我国原煤占能源生产总量的比重为74.7%可以看出，加权移动平均的特点是：强调时间序列近期的变动对未来具有较大影响，从而更为合理。但是有时会受加权系数选择的影响。总之，简单移动平均和加权平均最适用于没有明显趋势的、比较平稳的时间序列，如果时间序列明显表现出某种趋势性特征，或者波动很大，预测效果就会很差。1979-1998年中国国内生产总值指数05010015020025030035040045050055060065070019791980198119821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998年份指数（%）环比指数定基指数趋势性数列平稳性数列9.3指数平滑预测法指数平滑（MethodofExponentialSmoothing）是一种特殊的加权平均法，特点是对离预测期较近的历史数据给予较大的权数，对较远的给予较小的权数，权数由近到远呈指数递减，所以称之为指数平滑。有着非常广泛的运用。一般有简单(一次）指数平滑（SimpleExponentialSmoothing），二次指数平滑（DoubleExponentialSmoothing）和更高次的指数平滑。9.3.1简单指数平滑简单指数平滑的基本公式为：也可表示为：t期估算值＝a*(t期实际值)+(1-a)*(t-1期估算值)其中，a为平滑常数。可以看出，本期的简单平滑值等于本期的实际值与上一期平滑值的加权平均，权数由a决定。可以发现，这实际上是时间序列的观察值和初始平滑值的加权平均。并且这一权数是递减的，距离估算期越远的观察值对当前估算结果的影响越小。如，当a＝0.8时，分别为，0.8，0.16，0.032，0.0064。所以，可以起到类似加权移动平均的作用。对于初始值。假定2000年的销售额600万为初始值。则，下一期的预测值为：案例1991～1996年我国人均布产量如表第⑵栏所示，试用一次指数平滑法(a分别取0.4和0.8)计算1991～1996年的理论预测值，并预测1997年我国人均布产量。为比较预测效果，分别计算a取0.4和0.8时的均方误差。年份人均布产量Yta=0.4a=0.8St误差平方St误差平方199119921993199419951996199715.7916.3717.2317.7321.5917.1715.79*16.0216.5017.018.8418.1700.341.461.5121.072.7915.79*16.2517.0317.5920.7917.8900.340.960.4916.0013.10合计27.1730.89均方误差4.535.15简单指数平滑预测准确性相当程度上取决于a的值，一般而言，如果时间序列是比较平稳的，应尽量选择比较小的a值，这样可以降低指数平滑的敏感性；而当时间序列的波动比较大时，应尽可能选择较大的a值，这样可以使预测结果能比较迅速的对新情况做出调整。但是a值取得过大，又容易丧失整个序列的趋势性。根据经验，选取的a值一般在0.3～0.5之间比较理想。简单指数平滑的局限性简单指数平滑的缺点是比较适用于时间序列趋势不明显的场合，而当序列明显表现出线型趋势时，简单指数平滑预测值总会落后于实际值的变动。例如，预测某省农民家庭人均食品支出额，假如a取0.9。年份食品支出预测值（a=0.9）绝对误差1999243.29-02000277.82243.29*34.532001320.39274.3746.022002389.09315.7973.302003444.84381.7663.082004496.23438.5357.70绝对均差45.779.3.2布朗线型指数平滑在时间序列呈现出随趋势变动的情况下，通常采用布朗指数平滑（Brown’sLinearExponentialSmoothing），也称二次指数平滑。首先先计算出简单和二次指数平滑值之后，再建立趋势方程：T为时间间隔可以通过计算出的简单和二次指数平滑值来确定系数a，b例如，2003年1月销售量为60，2月为70，a＝0.5。则：通过趋势方程对3月份进行预测：案例预测某省农民家庭人均食品支出额，假如a取0.8。年份食品支出S1a=0.8S2a=0.8abY绝对误差1999243.29243.29*243.29*243.2902000277.82270.91265.39276.4322.08243.2934.522001320.39310.49301.47319.5136.08298.5121.882002389.09373.37358.99387.7557.52355.5933.502003444.84430.55416.24444.8657.24455.270.432004496.23483.09469.72496.4653.48502.105.872006603.42平均绝对误19.249.3.3三次指数平滑二次指数平滑既解决了对有明显呈趋势变动的时间序列的预测，又解决了一次指数平滑只能预测一期的不足。但如果时间序列呈非线性趋势时，就需要采用更高次的指数平滑方法。三次指数平滑（TripleExponentialSmoothing）9.4马尔可夫预测法9.4.1马尔可夫预测法基本原理马尔可夫：俄国著名数学家马尔可夫过程：以马尔可夫名字命名的一种特殊的事物发展过程。已知现在状态就可以预测将来的状态，无须是否知道过去的状态。而这种事物发展的未来状态只与现在有关而与过去无关的性质被称为，无后效性。例如，中国象棋中的“马”。具有无后效性的事物的发展过程称为马尔可夫过程，马尔可夫过程主要用于企业产品的市场占有率的预测。假定工大1万学生，每人每月用一支牙膏，并且只使用佳洁士与高露洁，根据12月调查，有7000人使用佳洁士，3000人使用高露洁；同时调查发现，7000使用佳洁士的人中，有30%下月准备改用高露洁，而3000使用高露洁的人中，有40%下月准备改用佳洁士，预测高露洁的市场。可以得到转移概率矩阵：B＝[]0.60.40.30.7拟用现用高露洁牙膏佳洁士牙膏高露洁牙膏60%40%佳洁士牙膏30%70%用转移概率矩阵可以预测市场占有率的变化预测下个月高露洁牙膏的使用人数为：3000×60％＋7000×30％＝3900人预测下个月佳洁士牙膏的使用人数为：3000×40％＋7000×70％＝6100人（3000，7000）[]=(3900，6100)如果再预测2月份的情况：（3000，7000）[][]=(4170，5830)0.60.40.30.70.60.40.30.70.60.40.30.79.4.2长期市场占有率预测根据市场调查得知，两种品牌的市场占有率分别为0.3，0.7，则占有率向量为：A＝（0.3，0.7）转移概率矩阵为B，则K个月后市场占有率为：AB假定X＝（x1,x2）为稳定后的市场占有率，则XB＝X(X1,X2)[]=(x1,x2)解二元一次方程可求出（x1,x2）＝（3/7,4/7）k0.60.40.30.7在市场营销实战中，市场上的品牌往往有十几种甚至几十种。如果有20种的话，那转移概率矩阵就是一个20×20的矩阵，计算非常麻烦。但是，一般我们只会关心其中的一种或两种品牌，那简便处理，我们可以把其它品牌一起归为“其它”，这样矩阵就是2×2或是3×3的矩阵。课堂练习某食品厂的W牌果奶在市场份额为20%。该厂通过市场调查发现，其顾客中有10%下月转向购买其他牌号的果奶；但与此同时，原先购买其他牌号的果奶的消费每月有5%转向购买W牌果奶。（1）写出转移概率的矩阵。（2）预测该厂下个月的市场占有