线性代数高等代数知识点总结

一、知识结构框图概念计算性质展开证|A|=0应用行列式一、行列式知识概述概念不同行不同列的元素的乘积的代数和。性质经转置行列式的值不变；互换两行行列式变号；某行有公因子可提到行列式符号外；拆成行列式的和；消法变换。;,0,,1jijiDDAaijnkkjki当当或.,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当其中，jijiij,0,1展开计算数字型抽象型三角化法；重要行列式法；加边法；递推法。用行列式性质；用矩阵性质；用特征值；利用矩阵相似。【热点】注意与矩阵的运算相联系的一些行列式的计算及其证明.证|A|=0AX=0有非零解；反证法；R(A)n;A可逆；|A|=-|A|；A的列向量组线性相关；0是A的特征值；应用AX=0有非零解；伴随矩阵求逆法；克拉姆法则;A可逆的证明；线性相关(无关)的判定；特征值计算。二、特殊行列式的值1.三角行列式111122221122*00*nnnnnnaaaaaaaaa11(1)2(1)2(1)212(1)1110*(1)*0nnnnnnnnnnnaaaaaaaaa2.范氏行列式1232222123111111231111()nnijnijnnnnnxxxxxxxxxxxxxx3.箭式行列式1123222223312233000000()000000nkknkknnkkkkkknnnnabxxaaaxbxbxabbxxxbxxbxbx4.与分块矩阵相联系的准三角行列式**mmnnAOAABBOB;*(1)*mmmnnnOAAABBBO.三、有关行列式的几个重要公式1、若A是n阶矩阵，则*1||||nAA2、若A,B是n阶矩阵，则||||||ABAB3、若A是n阶矩阵，则||||nkAkA4、若A是n阶可逆矩阵，则11||||AA5、若A是n阶矩阵，(1,2,,)iin是A的n个特征值，则1||niiA6、若A与B相似，则||||AB行列式的计算（重点）常用方法：三角化法展开降阶法（和消元相结合最为有效）加边法归纳法化为已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式等）本章所需掌握的题型：行列式计算（重点）1、具体阶数行列式计算2、较简单的n阶行列式计算与行列式定义、性质有关的问题需利用行列式进行判定的问题如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况2、矩阵可逆性3、向量组相关性（向量个数＝向量维数）4、两个矩阵相似的必要条件5、矩阵正定、半正定的必要条件矩阵运算行列式初等变换和标准形特殊矩阵14转置取逆伴随加法(A+B)T=AT+BT数乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1(kA)*=kn1A*乘法(AB)T=BTAT(AB)1=B1A1(AB)*=B*A*转置(AT)T=A(AT)1=(A1)T(AT)*=(A*)T取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)1伴随(A*)*=|A|n2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I当A可逆时，A*＝|A|A115行列式秩数加法r(A+B)≤r(A)+r(B)数乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k≠0)乘法|AB|=|A||B|r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)转置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A1|=|A|1伴随|A*|=|A|n1n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n10,若r(A)n1其它定义性质若P,Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)16初等变换行变换列变换换法变换倍法变换消法变换1011011111c1111c对单位矩阵做一次初等变换对A做一次行变换=用相应的初等矩阵左乘以A对A做一次列变换=用相应的初等矩阵右乘以A17•对于m×n矩阵A，B下列条件等价1.AB，即A可由初等变换化成B2.有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B3.秩A=秩B4.A，B的标准型相同•A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB•每个矩阵都行等价于唯一一个行最简形矩阵•A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ•每个秩数为r的矩阵都等价于000rI矩阵等价18ABBAE0Ax只有零解Axb有唯一解n阶方阵A可逆0ArAnA的行最简形为E.A为初等阵的乘积多角度看可逆阵A的行(列)向量组线性无关任一n维向量都可由行(列)向量组线性表示A的特征值均不为零A的行(列)向量组的秩都是n.(非退化阵)(满秩)ATA为正定阵.方阵A与E相似A=EA正定1PAPEi0p=nA=PTPk0.00,0,,.5][.00,0,.4][.))((,,.3][.)(,,.2][.,.1][:222BAABnBABAABBABABABAnBABABABAAATTT或则若阶方阵均为若或则有若矩阵则阶方阵为若则为同阶矩阵若则若判断题.,.10][.)(,,,.9][.)(,,,.8][.,,.7][..,.6][1111111是同阶方阵可交换的必要条件为与则为同阶可逆方阵若则为同阶可逆方阵若则阶方阵都是若有对于任意矩阵BABABABABAABCABCCBABAABnBABAABBA1.错（不满足消去律）2对3错（不满足交换律）4.错（不一定是方阵）5.对6错（同4）7对8对9错（不存在关于加法的公式，同理行列式也不存在关于加法的公式）10对向量线性关系线性相关线性无关线性表示等价极大无关组秩数22线性表示：•列向量组1,...,r可由1,...,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,...,r)=(1,...,s)C.进一步，C的第k列恰为k的表示系数•线性表示有传递性•被表示者的秩数≤表示者的秩数向量组等价：对于向量组S，T，下列条件等价1.S和T等价，即S,T可以互相表示2.S,T的极大无关组等价3.S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示23线性相关与线性表示：•1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示•若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价•1,...,r线性无关•当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0•当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0•1,...,r的秩数等于r•(1,...,r)是列满秩矩阵24极大无关组与秩数：1.1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当①1,...,r线性无关②S的每个向量都可由1,...,r线性表示2.秩S＝极大无关组中向量的个数3.若秩S＝r,则任何r个无关的向量都是极大无关组4.矩阵的秩数＝行向量组的秩数＝列向量组的秩数25(*)000221122221211212111mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa齐次线性方程组有非零解判定方程线性相关m,,,21线性相关性的判别特别当向量组的“向量个数＝向量维数”时，则有：.0,,,;0,,,2121”向量组线性相关“”向量组线性无关“nn当向量维数向量个数”时，则有向量组必线性相关.“短”向量组无关必有“长”向量组无关“长”向量组相关必有“短”向量组相关向量组“部分相关”必有“整体相关”向量组“整体无关”必有“部分无关”“大”向量组被“小”向量组表出，“大”向量组线性相关.“线性无关”的向量组只可能被“不小于”它的向量组线性表出.任何向量组只可能被“秩不小于它的秩”的向量组线性表出.“等价无关组”具有相同的“大、小”通俗记忆求向量组秩、极大无关组，表示方式m21将向量组按列排放初等行变换rmrrrrmrrmrrAAAAAAAAAAAA121222211111211行阶梯型矩阵r1i2iri一个极大无关组riii,,,21原向量组一个极大无关组第一等价链（满秩）nAr)(）可逆（非奇异、非退化A0A关个行（列）向量线性无的nA只有零解齐次线性方程组oAX有唯一解非齐次线性方程组bAX第二等价链（不满秩）nAr)(不可逆（奇异、退化）A0A关个行（列）向量线性相的nA有非零解齐次线性方程组oAX为线性无关向量组，，，m21正交化、单位化Schmidtm，，，单位正交向量组21:与初始向量组等价为正交向量组，，，m21为线性无关向量组，，，m21正交矩阵定义：.阶正交矩阵为，则称矩阵满足阶方阵若nAEAAAnT正交矩阵的性质：.)4(,)3(;11)2(;)1(,*11也为正交阵也是正交阵；）的转置（即或阶正交矩阵，则有：为若ABAAAAAAnBATT线性方程组线性方程组的表示•方程式：•矩阵式：Ax=b,其中A=(aij)m×n,x=(xi)n×1,b=(bi)m×1•向量式：x11+...+xnn=b,其中i是xi的系数列11112211211222221122nnnnmnnmmmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb33解的判定:1.n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵的秩数相等.具体地，①当秩A＜秩(Ab)时，方程组无解②当秩A＝秩(Ab)＝n时，方程组有唯一解③当秩A＝秩(Ab)＜n时，方程组有无穷解2.线性方程组有解常数列可由系数列线性表示.此时,解恰为表示的系数34解法Cramer法则Gauss-Jordan消元法：①用行变换和列换法变换将增广矩阵化成行最简形②写出行最简形对应的方程组③取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量④写出参数解或通解35解的结构齐次线性方程组Ax=0：•解空间：解的集合•基础解系：解空间的基底•通解：设1,…,s是一个基础解系,则通解为=c11+...+css，其中c1,...,cs是任意常数•解空间的维数＝未知数个数－系数矩阵的秩数•设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系36一般线性方程组Ax=b：•Ax＝b和Ax=0的解的关系：①Ax＝b的两个解之差是Ax=0的解②Ax＝b的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解③Ax=b的解的线性组合是④设Sb和S0分别表示Ax＝b和Ax=0的解集合，则Sb＝S0+，Sb•通解：设1,…,s是一个基础解系,是Ax=b的一个解,则通解为=c11+...+css+，其中c1,...,cs是任意常数Ax=0的解，当系数和＝0时；Ax=b的解，当系数和＝1时.37矩阵计算行列式：①化三角形；②展开+递推求逆矩阵：①行变换；②伴随求秩数：①初等变换；②定义38计算方程组的计算1.求基础解系：①Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)②已知秩A＝r，则任何r个无关解都是基础解系2.求通解：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)3.带参数的方程组：•先化简，再判定.•可先考虑唯一解的情形.特别是有系数行列式时.39向量的计算设S：1,...,s是n元向量组(无论行或列)•求S的秩数：S的秩数=它组成的矩阵的秩数•判断S的相关性：•设x11+...+xss=0,将其转化成x的方程组.若方程组有非零解，则S相关；否则，无关.•求S的秩数