傅里叶变换在信号处理中的应用

傅里叶变换在信号处理中的应用——高通滤波器设计原理傅里叶变换（Fouriertransform）是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。傅立叶变换是一种将波形（函数或信号）分解为以正弦和余弦为特征的替代表示的工具。傅里叶变换表明，任何波形都可以重写为正弦函数的和。因此傅里叶变换可以有效的运用在信号处理(SignalProcessing)领域。事实上，傅里叶变换可能是分析整个领域信号的最重要的工具。信号如何能变得更好？假设你正在听录音，背景中有低沉的嗡嗡声，通过使用低频滤波器，我们可以消除嗡嗡声。或者假设你有一张数码照片，但是有很多噪点，我们可以使用信号处理和傅立叶变换来滤除这种不需要的“噪音”。信号处理或过滤如何工作？我们先看看常见的输入输出系统，即线性时不变（LTI）系统。假设我们有一个盒子接受输入信号并从中产生一个输出信号。这样一个盒子可以被认为是一个系统：输入一个信号X(t)，经过LTI系统后输出一个Y(t)信号。输入输出的例子：输入输出电压信号到一个扬声器声音波形通过电容器的电流电容器两端的电压任意波形x(t)2*x(t)任意波形z(t)z(t-5)LTI系统存在两个限制。一是LTI系统必须是线性的，二是时间（Shift）不变。这两个条件并不是很严格，所以LTI系统理论是非常普遍的（尽管不是每个系统都是线性的和不变的）。在讲解滤波之前，不得不提一些关于LTI系统分析的背景知识。我们使用脉冲函数作为输入信号并查看相应的输出信号，称为脉冲响应。为什么使用脉冲？答案又来自傅里叶变换：脉冲的傅立叶变换是一个关于频率的常数。这意味着如果输入是一个脉冲函数，那么我们实质上是在所有的频率上发送相等的能量。也就是说，在频域中，每个频率的能量密度是相同的。因此，当我们观察输出的傅里叶变换时，我们现在知道系统如何对每个可能的频率做出反应。其原因可以追溯到傅立叶变换的线性：时间上的脉冲可以被认为是在每个可能的频率上的正弦曲线的无限和。输出结果就是对每个频率的响应总和。由于单一频率输入的LTI系统的输出在输出信号中将只有相同的单一频率。这是时间不变属性的结果。信号的幅度和相位可以缩放，但频率不能改变。下图表示LTI系统的时域视图。即，使用脉冲作为输入信号i(t)，并观察输出信号h(t)：同样的，我们可以在频域看到上面的信号和系统。通过对输入信号和输出信号进行傅里叶变换，我们可以看到在下中，输入信号[I(f)=1]产生输出H(f)，即频率响应：注意，上图的H(f)通常是一个复数。如果系统的脉冲响应写为h(t)，那么脉冲响应的傅立叶变换是H(f)，也被称为传递函数。这个传递函数描述了系统对每个频率（即振幅和相位变化）所做的工作。假设我们知道LTI系统的脉冲响应h(t)，那么我们也知道传递函数H(f)，因为H(f)是h(t)的傅里叶变换。传递函数告诉我们系统如何对每个可能的输入频率做出反应。由于所有可能的输入信号只是正弦波的总和，因此我们可以快速找到由于任意输入信号x(t)导致的LTI系统的输出：上图显示了由于一般输入信号x(t)引起的LTI系统的输出可以通过以下方式找到：1.使用傅立叶变换将x（t）转换为频域表示X（f）2.通过对脉冲响应h（t）进行傅立叶变换求H（f）3.在频域获得输出信号Y（f）=X（f）*H（f）4.通过对Y（f）进行傅立叶逆变换获得时域输出y（t）对于LTI系统，输出就是输入傅立叶变换和传递函数的结果。这使得可视化LTI系统的影响变得简单并且分析变得更容易。假设我们想要处理在特定频率上具有不希望的“噪声”的信号。作为一个例子，一个样本输入信号[G（f）]，我们希望去除在较低频率区域的噪声：真实信号的傅立叶变换在正频率和负频率时将具有相同的能量;因此在图中关于f=0轴的对称性。对于f|f1|，图中的信号G(f)具有不期望的噪声。信息或期望的能量在频带|f|f2中。故上图的频率区域通常被分为：1.通带：能量应通过滤波器的频率范围（无衰减）2.阻带：能量应被过滤或去除的频率范围（大衰减）3.过渡区域：通带和阻带之间的频率范围对应的通带（passband），阻带（stopband）和过渡区（transitionregions）如下图所示：因为我们知道Y(f)=H(f)X(f)，那么我们可以设计一个理想化的滤波器，对于|f|f2，H(f)=1，对于|f|f1，如下图所示：在通带中，H(f)=1，所以信号的所需分量通过滤波器。在阻带中，H(f)=0，所以信号的噪声分量被完全拒绝。这种类型的滤波器被称为“高通滤波器”，因为高频通过和低频衰减。而实际工程中，会利用下图的电路实施，此即是利用傅里叶变换设计成的高通滤波器。