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2014年重庆市高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在复平面内复数Z=i(1﹣2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列3.(5分)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.44.(5分)已知向量=(k,3),=(1,4),=(2,1)且(2﹣3)⊥,则实数k=()A.﹣B.0C.3D.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是()A.s>B.s>C.s>D.s>6.(5分)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0,q:“x>0”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(¬p)∧(¬q)C.(¬p)∧qD.p∧(¬q)7.(5分)某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.728.(5分)设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.39.(5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.16810.(5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,在下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24二、填空题:本大题共3小题,每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.(5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B=.12.(5分)函数f(x)=log2•log(2x)的最小值为.13.(5分)已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆(x﹣1)2+(y﹣a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.三、选做题:考生注意(14)(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分14.(5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B、C,若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=.15.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(Ⅰ)求ω和φ的值;(Ⅱ)若f()=(<α<),求cos(α+)的值.18.(13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数字a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)19.(13分)如图,四棱锥P﹣ABCD,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上的一点,且BM=,MP⊥AP.(Ⅰ)求PO的长;(Ⅱ)求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.20.(12分)已知函数f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4﹣c.(Ⅰ)确定a,b的值;(Ⅱ)若c=3,判断f(x)的单调性;(Ⅲ)若f(x)有极值,求c的取值范围.21.(12分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.22.(12分)设a1=1,an+1=+b(n∈N*)(Ⅰ)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若b=﹣1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有的n∈N*成立,证明你的结论.2014年重庆市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2014•重庆)在复平面内复数Z=i(1﹣2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则,我们可以将复数Z化为a=bi(a,b∈R)的形式,分析实部和虚部的符号,即可得到答案.【解答】解:∵复数Z=i(1﹣2i)=2+i∵复数Z的实部2>0,虚部1>0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义,其中根据复数乘法的运算法则,将复数Z化为a=bi(a,b∈R)的形式,是解答本题的关键.2.(5分)(2014•重庆)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质,对四个选项中的数进行验证即可.【解答】解:A项中a3=a1•q2,a1•a9=•q8,(a3)2≠a1•a9,故A项说法错误,B项中(a3)2=(a1•q2)2≠a2•a6=•q6,故B项说法错误,C项中(a4)2=(a1•q3)2≠a2•a8=•q8,故C项说法错误,D项中(a6)2=(a1•q5)2=a3•a9=•q10,故D项说法正确,故选D.【点评】本题主要考查了是等比数列的性质.主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断.3.(5分)(2014•重庆)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.【解答】解:∵变量x与y正相关,∴可以排除C,D;样本平均数=3,=3.5,代入A符合,B不符合,故选:A.【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.4.(5分)(2014•重庆)已知向量=(k,3),=(1,4),=(2,1)且(2﹣3)⊥,则实数k=()A.﹣B.0C.3D.【分析】根据两个向量的坐标,写出两个向量的数乘与和的运算结果,根据两个向量的垂直关系,写出两个向量的数量积等于0,得到关于k的方程,解方程即可.【解答】解:∵=(k,3),=(1,4),=(2,1)∴2﹣3=(2k﹣3,﹣6),∵(2﹣3)⊥,∴(2﹣3)•=0'∴2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0,解得,k=3.故选:C.【点评】本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式,注意数字的运算不要出错.5.(5分)(2014•重庆)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是()A.s>B.s>C.s>D.s>【分析】程序运行的S=××…×,根据输出k的值,确定S的值,从而可得判断框的条件.【解答】解:由程序框图知:程序运行的S=××…×,∵输出的k=6,∴S=××=,∴判断框的条件是S>,故选:C.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键.6.(5分)(2014•重庆)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0,q:“x>0”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(¬p)∧(¬q)C.(¬p)∧qD.p∧(¬q)【分析】判定命题p,q的真假,利用复合命题的真假关系即可得到结论.【解答】解:p:根据指数函数的性质可知,对任意x∈R,总有2x>0成立,即p为真命题,q:“x>0”是“x>2”的必要不充分条件,即q为假命题,则p∧¬q为真命题,故选:D.【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用,先判定p,q的真假是解决本题的关键,属于基础题.7.(5分)(2014•重庆)某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据,把数据代入面积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图:三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形,∵AB⊥平面BEFC,∴AB⊥BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60.故选:B.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.8.(5分)(2014•重庆)设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x,由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,结合条件可得a=b,从而c==b,即可求出双曲线的离心率.【解答】解:不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,∵|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,∴2ex=3b,(ex)2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab,即9b2﹣4a2﹣9ab=0,∴(3b﹣4a)(3b+a)=0∴a=b,∴c==b,∴e==.故选:B.【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了双曲线的第二定义的灵活运用,属于中档题.9.(5分)(2014•重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【分析】根据题意,分2步进行分析:①、先将3个歌舞类节目全排列,②、因为3个歌舞类节目不能相邻,则分2种情况讨论中间2个空位安排情况,由分步计数原理计算每一步的情况数目,进而由分类计数原理计算可得答案.【解答】解:分2步进行分析:1、先将3个歌舞类节目全排列,有A33=6种情况,排好后,有4个空位,2、因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,分2种情况讨论:①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有C21A22=4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在2端,有2种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种;②将中间2个空位安排2个小品类节目,有A22=2种情况,排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种;则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,故选:B.【点评】本题考查计数原理的运用,注意分步方法
本文标题:[历年真题]2014年重庆市高考数学试卷(理科)
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