曲面的切平面与法向量

上页下页返回结束曲面的切平面与法向量一、隐式方程的情形二、显式方程的情形*三、参数方程的情形第六节（2）第九章上页下页返回结束一、隐式方程的情形设有光滑曲面通过其上定点0tt设对应点M,切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.))(,)(,)((000tttTnTM上页下页返回结束证:在上,0))(,)(,)((tttF,0处求导两边在tt,0Mtt对应点注意)(0t0),,(000zyxFx),,(000zyxFy),,(000zyxFz)(0t)(0t得))(,)(,)((000tttT)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT切向量由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.nTM上页下页返回结束)(),,(0000xxzyxFx曲面在点M的法向量法线方程000zzyyxx)(),,(0000yyzyxFy0))(,,(0000zzzyxFz切平面方程),,(000zyxFx),,(000zyxFy),,(000zyxFz)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyxnTM上页下页返回结束例1.求球面3632222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程)1(2x即法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n上页下页返回结束二、显式方程的情形.0)())(,())(,(:0000000zzyyyxfxxyxfyx切平面方程).,,(),,(:20000zyxMyxfz点　曲面情形,),(),,(则令zyxfzyxF,1,,zyyxxFfFfF.1),(),(:0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程)1),,(),,((0000yxfyxfnyx，上页下页返回结束法向量用将),(,),(0000yxfyxfyx,,yxff法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,)1,),(,),((0000yxfyxfnyx上页下页返回结束))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz因为曲面在M处的切平面方程为全微分的几何意义),(yxfz在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz在点),,(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量.上页下页返回结束),)(,())(,(),(00000000yyyxfxxyxfyxfzyx记空间中的平面方程}.1),,(),,({)),,(,,(00000000yxfyxfnyxfyxyx　　法向量为平面过点几何意义.,)),(,,(),(,),(),(000000点的切平面这张平面就是曲面在该以用平面来近似近旁的一小部分可在点则曲面处可微在点　　如果函数yxfyxyxfzyxyxfz上页下页返回结束求122yxz在点)4,1,2(0X处的切平面和法线方程.解1令1),,(22zyxzyxF则42)4,1,2(2xxxF22)4,1,2(1yyyF1)4,1,2(zF)1,2,4(n切平面方程：0)4()1(2)2(4zyx法线方程：142142zyx0624zyx例3.上页下页返回结束.)4,1,2(122切平面和法线方程处的在点　　求旋转抛物面yxz,1),(22yxyxf　),1,2,2()1,,(yxffnyx,0)4()1(2)2(4:zyx所以切平面为方程.142142zyx法线方程为例3解2),1,2,4()4,1,2(n上页下页返回结束小结：曲面的切平面与法线（向量都在点M上取值）F(x,y,z)=0法向量),,(zyxFFFn法向量)1,,(yxffn1)隐式情况.2)显式情况.)1,,(yxffn