二项式定理

1.3.1二项式定理二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出．二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用．物理是我的强项数学上我同样有建树?)(4ba?)(3ba?)(2banba)(二项式定理研究的是的展开式.222baba?)(100ba)()(2baba)()(3baba…此法有困难…?)(nba展开式有几项？每一项是怎样构成的？的展开式是什么？))((2121bbaa问题1:展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？))()((212121ccbbaa问题2:多项式乘法的再认识规律:每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项.))()((bababa3aba22ab3b①项：②系数：113C23C33C03C))()((bababa))()((bababa))()((babababa2分析13C3332232133033)(bCabCbaCaCba3)(ba③展开式：探究1推导的展开式.3)(bakkba33,2,1,0kkC33)(ba4)(ba2)(ba2a22C2ab2b02C12C03C2abba23a13C23C33C3b4a04C24C14C34C44Cba322ba3ab4b?)(nba探究2仿照上述过程,推导的展开式.4)(bannbabababa)())(()(①项：②系数：kknba分析相乘个)(banaba中选个)(knbba中选个)(kknC0nC1nCnnCknC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn探究3：请分析的展开过程，证明猜想.nba)(naban1kknbanb③展开式：④二项展开式的通项:③二项式系数:({0,1,2,,})knCkn①项数：②次数：共有n＋1项各项的次数都等于n，1knkkknTCab011*()()nnnknkknnnnnnabCaCabCabCbnN字母a按降幂排列，次数由n递减到0,字母b按升幂排列，次数由0递增到n.二项式定理(1)?nx)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn?)(nbannnkknknnnnnbCbaCbaCaC)()()(110nnnnknnnxCxCxCC10二项式定理特殊地：1.把b换成-b2.令a=1,b=x3.令a=1,b=101=2knnnnnnCCCC例.求的展开式．6)12(xx解法1:直接展开)1()2()2()12(5166066xxCxCxx33362426)21()2()21()2(xxCxxC6665564246)1()1)(2()1()2(xCxxCxxC32231126016024019264xxxxxx例.求的展开式．6)12(xx解法2:先化简再展开6366)12(1)12()12(xxxxxx42651663)2()2()2[(1xCxCxx])2()2()2(6656246336CxCxCxC32231126016024019264xxxxxx思考3：你能否直接求出展开式的第３项？思考1：展开式的第３项的系数是多少？思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？例.求的展开式．6)12(xx242361(2)()240TCxxx2402615C1.2x－1x4的展开式中的常数项为()A．－24B．－6C．6D．24解析：二项展开式的通项Tr＋1＝Cr4(2x)4－r－1xr＝Cr424－r(－1)r·x4－2r，令4－2r＝0，即r＝2，故常数项为C2422(－1)2＝24.练习2．若二项式x－2xn的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为()A．6B．10C．12D．15解析:二项式x－2xn的展开式的第5项为T5＝C4n(x)n－4·－2x4，故n－42－4＝0，即n＝12.练习3.(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________(用数字填写答案)．10解析:Tr＋1＝Cr5(2x)5－r·(x)r＝25－rCr5·x5－r2，令5－r2＝3，得r＝4，∴T5＝10x3，∴x3的系数为10.练习4.若ax2＋1x5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.－2解析:Tr＋1＝a5－rCr5x10－52r，令10－52r＝5，解之得r＝2，所以a3C25＝－80，a＝－2.练习(2)二项展开式的通项：kknknkbaCT11.二项式定理：2．思想方法(1)二项式系数：),,2,1,0(nkCkn(2)用计数原理分析二项式的展开过程.(1)从特殊到一般的数学思维方式.(3)类比、等价转换的思想.小结)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn