卫星导航系统HDOP和VDOP的研究-张淼艳

·6·2009年3月遥测遥控卫星导航系统HDOP和VDOP的研究∗张淼艳，张军，朱衍波（北京航空航天大学电子信息工程学院北京100191〕摘要：精度因子（DOP）表征可见卫星在空间几何分布的好坏，对测距误差起着放大作用。DOP越小，定位精度越高。现有研究均针对几何精度因子（GDOP）。文中根据卫星导航系统水平精度因子（HDOP）和垂直精度因子（VDOP）在民用航空导航中的应用，从三个方面对HDOP和VDOP进行了分析、仿真和研究，可知：地心地固（ECEF）坐标系和站心坐标系下的HDOP和VDOP是不同的，只在纬度为90°时相同；站心坐标系下，不同星座配置对不同纬度地区的HDOP和VDOP产生不同的影响，卫星数目的增加有利于减小HDOP和VDOP，而星座轨道平面仰角的增加有利于改善高纬度地区的HDOP和VDOP；ECEF坐标系和站心坐标系下，所有的精度因子均随卫星数目的减少而递增。关键词：卫星导航系统；DOP；HDOP；VDOP中图分类号：TN96文献标识码：A文章编号：CN11-1780(2009)02-0006-07引言精度因子（DOP）表征用户和可见卫星在空间几何分布的好坏，对测距误差起着放大作用。精度因子包括几何精度因子（GDOP）、位置精度因子（PDOP）、水平精度因子（HDOP）、垂直精度因子（VDOP）和时间精度因子（TDOP）五个参数，不同的应用对这些参数有不同的要求。民用航空对导航系统有四种性能要求，分别是精度、完好性、连续性和可用性。其中，对精度的要求分为水平精度和垂直精度[1]，而且是在用户位置处与WGS-84椭球相切的本地水平面上定义的[2]，即在站心坐标系下定义的，与站心坐标系下的HDOP和VDOP有关。HDOP和VDOP越小，则水平精度和垂直精度越高。基于卫星导航系统在民用航空中应用时对导航精度的特殊要求，本文对HDOP和VDOP进行了全面的研究，详细分析了坐标转换、星座配置和卫星数目对地心地固（ECEF）坐标系下和站心坐标系下HDOP和VDOP的影响。1精度因子GPS接收机的位置（uuuzyx,,）由卫星位置（jjjzyx,,）和伪距jρ（nnj,,,2,1=是可见卫星总数）决定，单点定位模型如式（1）所示()()())(222juujujujjttczzyyxx−+−+−+−＝ρ（1）其中，c是光速，ut是接收机时钟相对于GPS系统时的超前时间，jt是第j颗卫星的时钟相对于GPS系统时的超前时间，可由卫星导航电文获得。将式（1）在近似位置（uuuzyxˆ,ˆ,ˆ）和时钟偏差估计值utˆ处进行一阶泰勒级数展开，实现定位模型的线性化。线性化定位方程如式（2）所示uujujujjtcznymxlΔΔΔΔΔ−++=ρ（2）其中，jjjρρρˆ−=Δ，jρˆ为将近似位置（uuuzyxˆ,ˆ,ˆ）和时钟偏差估计值utˆ代入式（1）得到的用户到第j颗卫星的伪距；uuuxxxˆ−=Δ，uuuyyyˆ−=Δ，uuuzzzˆ−=Δ，uuutttˆ−=Δ，jl、jm和jn表示由∗项目来源：国家自然科学基金委员会与中国民用航空总局联合资助项目(60672181),国家863高技术研究发展计划(2006AA12A101)收稿日期：2008-10-28收修改稿日期：2008-12-23第30卷第2期2009年3月遥测遥控JournalofTelemetry，TrackingandCommandVol.30，№.2March2009·7·张淼艳等，卫星导航系统HDOP和VDOP的研究第30卷第2期近似位置指向第j颗卫星的单位矢量的方向余弦。将式（2）写成矩阵形式XHΡΔΔ=（3）其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nρρρΔΔΔΔ21Ρ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111222111nnnnmlnmlnmlH，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=uuuutczyxΔΔΔΔΔXn≥4时可采用昀小二乘法求解式（3）()ΡHHHXΔΔT1T−=（4）假设伪距误差矢量是Ρd，则对位置和时间估计的误差是()ΡHHHXddT1T−=（5）通常假设Ρd各分量分布相同且相互独立，均方差等于卫星的用户等效测距误差（UERE），即2)dcov(UEREnnσ×=IΡ其中，)cov(⋅表示协方差。所以()()()221T1TT1T)dcov()dcov(UEREUEREσσGHHHHHΡHHHX===−−−（6）对称矩阵()1T−=HHG的各分量定量地表示了伪距误差如何变换为Xd的协方差的各分量，精度因子可由G的分量来定义⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414343323132423221214131211ggggggggggggggggG（7）各种精度因子可表示为GDOP＝44332211gggg+++（8）PDOP＝332211ggg++（9）HDOP＝2211gg+（10）VDOP＝33g（11）TDOP＝44g（12）2坐标转换对精度因子的影响精度因子通常在ECEF坐标系中计算，表示ECEF坐标系中的定位误差因子。但在民航应用中，用户需要确定在站心坐标系中的位置误差，需要将精度因子转换到站心坐标系中。文献[3]直接给出了矩阵G在ECEF坐标系下和站心坐标系下的关系，本文从式（5）推导其关系。从ECEF坐标系到用户站心坐标系的转换矩阵T[3]（时间在两个坐标系中是不变的）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=10000sinsincoscoscos00cossin0cossinsincossinφλφλφλλφλφλφT（13）·8·2009年3月遥测遥控其中，λ、φ是用户的经、纬度。假设式（1）~式（5）中各距离的坐标系是ECEF坐标系，则式（8）~式（12）中各精度因子的定义就是ECEF坐标系下的定义。将式（5）中的Xd转换到站心坐标系，可得，()ΡHHTXTddT1TH−=，所以()()2TT1TT1T)dcov()dcov(UEREσTGTTHHHΡHHHTXT==−−（14）则站心坐标系下的矩阵sG为TsTGTG=（15）矩阵sG的各对角线元素为λφφλφφλλφφλφλφsincossin2coscossin2cossinsin2cossinsincossin231321223322222211s11ggggggg−−+++=λλλλ22212211s22coscossin2singggg+−=λφφλφφλλφφλφλφsincossin2coscossin2cossincos2sinsincoscoscos231321223322222211s33ggggggg+++++=44s44gg=所以，44332211s44s33s22s11gggggggg+++=+++，332211s33s22s11gggggg++=++，但≠+s22s11gg2211gg+，33s33gg≠。即GDOP、PDOP和TDOP在ECEF坐标系下和站心坐标系下是相同的，而HDOP和VDOP不同。下节中的仿真就是依据式（15）计算的，其结果也验证了此结论。所以，在需要计算站心坐标系下用户定位误差的应用中，特别对于民航这种特别关注水平精度和垂直精度的应用中，研究站心坐标系下HDOP和VDOP的特性是至关重要的。3星座配置对HDOP和VDOP的影响本节通过仿真研究星座配置对站心坐标系下的HDOP和VDOP的影响。GPS、GLONASS和Galileo三个全球卫星导航系统的标准星座配置不同，可针对这三个系统的标准星座研究星座配置对HDOP和VDOP的影响。仿真中三个系统的星座配置如表1所示，24小时的仿真结果如图1~图6所示。01020304050607080900.511.522.533.544.55HDOP最大值(ECEF)HDOP最大值(站心)VDOP最大值(ECEF)VDOP最大值(站心)0102030405060708090020％40％60％80％100％HDOP1.2(ECEF)HDOP1.2(站心)VDOP1.5(ECEF)VDOP1.5(站心)表1GPS、GLONASS和Galileo星座配置轨道数轨道倾角（°）轨道上的卫星数GPS6554GLONASS364.88Galileo3569图1经度116°时ECEF和站心坐标系下HDOP和VDOP的最大值的比较图2经度116°时ECEF和站心坐标系下HDOP1.2和VDOP1.5的百分比的比较纬度/（°）纬度/（°）百分比昀大值·9·张淼艳等，卫星导航系统HDOP和VDOP的研究第30卷第2期图1和图2的结果验证了HDOP和VDOP在ECEF坐标系下和站心坐标系下不同的结论。接近赤道时，ECEF坐标系下的HDOP昀大值与站心坐标系下的VDOP昀大值比较接近，这是由坐标系的定义引起的；在高纬度地区，两个坐标系下的HDOP（VDOP）逐渐趋向一致；在纬度为90°时，两个坐标系下HDOP（VDOP）是相等的，这是因为纬度为90°时，坐标转换矩阵T是正交矩阵。图3经度116°时的HDOP最大值图4经度116°时的HDOP1.2的百分比随纬度的变化随纬度的变化图3和图4都是站心坐标系下的仿真结果。可得结论，接近赤道时，GLONASS的HDOP昀大值较大，而在中高纬度地区GPS的HDOP昀大值较大，Galileo的HDOP昀大值始终较小；在赤道和极地地区，三个系统的HDOP1.2的百分比基本接近，而低纬度地区GLONASS的百分比较低，高纬度地区GPS的百分比较低；Galileo的百分比始终较大。图5经度116°时的VDOP最大值图6经度116°时的VDOP1.5的百分比随纬度的变化随纬度的变化图5和图6也是站心坐标系下的仿真结果。由图可知，低纬度地区三个系统的VDOP昀大值基本接近；GLONASS的VDOP昀大值在纬度26°~28°间有个突变，这是因为此位置处在250~252分钟时所有卫星的仰角基本相等，导致可见卫星几何结构急剧变差；高纬度地区GPS的VDOP昀大值明显较大；高纬度地区GLONASS的HDOP和VDOP的昀大值比GPS的小，百分比比GPS的大；在赤道和高纬度地区，三个系统的VDOP1.5的百分比比较接近，而低纬度地区GLONASS的百分比明显较小。所以，综合图1~图6的仿真结果，结合三个系统的星座配置，可得到以下结论：①Galileo的HDOP和VDOP整体上较小，这说明随卫星数目的增加，HDOP和VDOP有减小的趋势；②GLONASS在高纬度地区的性能明显优于GPS，这说明随星座轨道仰角的增加，高纬度地区的性·10·2009年3月遥测遥控能有提高的趋势。4卫星个数对精度因子的影响文献[4~6]已经证明GDOP随卫星个数的增加而递减，但卫星个数的变化对其它精度因子的影响没有提及。本节首先从理论上推导出所有的精度因子随卫星数目减少的变化关系，然后用实例加以说明。我们用nH表示n颗可见卫星的观测矩阵，用1−nH表示去掉第i颗卫星后得到的n-1颗卫星的观测矩阵，则iinnnnhhT1T1T+=−−HHHH（16）其中，[]1iiiinml=h是nH的第i行。根据Sherman-Morrison公式[7]，如果01T≠−=iniiiShGh，则()()()TT1TT11T111/ininiinniinnnnnhGhGhhGGhhHHHHG−+=−==−−−−−（17）如果式（17）的等式右边第二项对角线元素均大于0，则可证明所有的精度因子随卫星数目的递减而增大。因此，我们首先利用反证法证明01T≠−=iniiiShGh，然后再证明()TT1/ininiinhGhGhhG−的对角线元素均大于0。如果01T=−=iniiiShGh，则1T=inihGh（18）在式（16）等式两边同右乘TinhG，将式（18）代入，并考虑到1T)(−=nnnHHG，可得TT1T1TTTiinnniinnnhhGHHhhGHH+==−−所以，0T1T1=−−innnhGHH；矩阵1T1−−nnHH和nG都是非奇异矩阵，所以0T=ih；ih的前三个元素是接收机到第i颗卫星的方向余弦，昀后一个元素是1，所