24.2.2切线判定与性质(超经典)剖析

24.2.2.直线与圆的位置关系-----------切线的性质和判定.Ol特点：.O叫做直线和圆相离。直线和圆没有公共点，l特点：直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆相切。这时的直线叫切线，唯一的公共点叫切点。.Ol特点：直线和圆有两个公共点，叫直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线。直线与圆的位置关系一、用公共点的个数来区分.A.A.B切点．Ｏl┐dr．ｏl2、直线和圆相切┐drd=r．Ol3、直线和圆相交drd┐r二、用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分1、直线和圆相离dr下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水，在砂轮上打磨工件飞出的火星，都是沿着圆的切线的方向飞出的．问题：1当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？切线的判定Al切线切点经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。∵OA是⊙O的半径,l⊥OA于点A∴l是⊙O的切线.O几何语言①经过半径外端；②垂直于这条半径．定理中的两个条件缺一不可．判断题：(1)垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线。()(2)过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线。()随堂练习反例1.如图AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB,求证AT是⊙O的切线.练习证明:∵AT=AB,∠ABT=45°，∴∠ATB=∠ABT=45°.∴∠TAB=180°－∠ATB－∠ABT=90°.∴TA⊥OA.∴AT是⊙O的切线.·ABTO又∵OA是⊙O的半径例1OABC直线AB经过圆O上的C，并OA=OB，AC=BC，求证：直线AB是圆O的切线证明:连接OC∵OA=OB,CA=CB,∴△OAB是等腰三角形,OC是底边AB上的中线∴OC⊥AB且OC为半径∴AB是⊙O的切线有交点，连半径，证垂直.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D.，BD是⊙O的切线吗？为什么？练习2ODCBAC有交点，连半径，证垂直CＯABDE证明：过点O作OE⊥BC于E∵点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D∴OE＝OD又∵OD为⊙O半径即圆心Ｏ到直线BC的距离等于半径∴BC与⊙O相切如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC是⊙O的切线。o无交点，作垂直，证半径作OE⊥BC于E当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时辅助线：是过圆心作这条直线的垂线段。再证明这条垂线段的长等于半径。连结OC当已知条件中直线与圆已有一个公共点时辅助线：是连结圆心和这个公共点。再证明这条半径与直线垂直。如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB求证：直线ＡＢ是⊙O的切线BＯAC如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC与作⊙O相切。CAＯBDE切线中常用辅助线添加方法切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径。AOCB∵AB是⊙o的切线,C是切点∴AB⊥OC.几何语言例2：如图，点A是⊙O外一点，OA交⊙O于点B，AC是⊙O的切线，切点是C，若∠A=30°，BC=1，求切线AC的长。CBAO证明:连接OC∵AC是⊙O的切线∴OC⊥AC∵∠A=30°∴∠COA=60°∵OC=OB∴△OBC是等边三角形∴OC=OB=BC=1在Rt△AOC中∵∠A=30°,OC=1∴AO=2∴3122222COAOAC1300小结要判定一条直线是圆的切线，我们已学过三种方法，如下表所示：判定方法根据方法1和圆有唯一公共点的直线是圆的切线切线定义方法2和圆心距离d等于圆的半径r的直线是圆的切线d＝r方法3过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线切线判定定理有交点，连半径，证垂直无交点，作垂直，证半径二、切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。ABOCD练习AC是直径，AB和CD是切线，A,C是切点,判断AB和CD的位置关系?证明你的结论.•已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证:(1)∠BOC=∠DOC；(2)DC是⊙O的切线。DOCBA证明：．（1）∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．即∠BOC＝∠COD（2）∵OD＝OB，OC＝OC，∠BOC＝∠COD∴△ODC≌△OBC．∴∠ODC＝∠OBC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°．∴∠ODC＝90°．∵OD是圆的半径∴DC是⊙O的切线．1234ABCEDO已知:Rt△ABC中，∠BAC=90o,E是AB的中点，以AC为直径作圆，交BC于点D，求证：ED是圆的切线。1234ABCD已知：AB是直径，AD是切线，求证：∠DAC=∠ABCCABD已知：AB是直径，AD是切线，求证：∠DAC=∠ABCEOABCD已知：AB是直径，∠DAC=∠ABC求证：AD是切线CABD已知：AB是直径，∠DAC=∠ABC求证：AD是切线，EO下课了!下课了!