《大学物理学》答案(上海交大版)上下册

习题1-1.已知质点位矢随时间变化的函数形式为)ωtsinωt(cosjiRr其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：1）由)ωtsinωt(cosjiRr知tcosRxωtsinRyω消去t可得轨道方程222Ryx2）jrvtRcossinωωtωRωdtdiRωtωRωtωRωv2122])cos()sin[(1-2.已知质点位矢随时间变化的函数形式为jir)t23(t42，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）质点的轨道；（2）从0t到1t秒的位移；（3）0t和1t秒两时刻的速度。解：1）由jir)t23(t42可知2t4xt23y消去t得轨道方程为：2)3y(x2）jirv2t8dtdjijivr24)dt2t8(dt1010Δ3）jv2(0)jiv28(1)1-3.已知质点位矢随时间变化的函数形式为jirtt22，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：1）jirv2t2dtdiva2dtd2）212212)1t(2]4)t2[(v1tt2dtdva2t22221ntaaat1-4.一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为20121attvy（1）图1-420221gttvhy（2）21yy（3）解之2dtga初速度0v水平抛出，求：1-5.一质量为m的小球在高度h处以（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的tddr，tddv，tvdd.解：（1）tvx0式（1）2gt21hy式（2）jir)gt21-h(tv(t)20（2）联立式（1）、式（2）得202v2gxhy（3）jirgt-vtdd0而落地所用时间gh2t所以jir2gh-vtdd0jvgtdd2202y2x)gt(vvvv21122222002[()](2)gghgtdvdtvgtvgh1-6.路灯距地面的高度为1h，一身高为2h的人在路灯下以匀速1v沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度2v.证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为1x，人影中头的坐标为2x，由几何关系可得图1-621122hhxxx而tvx01021121112vhhthhhxhx所以，人影中头的运动方程为人影中头的速度021122vhhhdtdxv1-7.一质点沿直线运动，其运动方程为2242ttx(m)，在t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：tdtdxv44若0v解的st1mxxx22)242(011mxxx8)242()32342(2133mxxx1021cm20h，斜面对水平的倾角1-8.一弹性球直落在一斜面上，下落高度30，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。图1-8解：小球落地时速度为ghv20一建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图00060cosvvx200060cos2160costgtvx（1）00060sinvvy200060sin2160sintgtvy（2）第二次落地时0ygvt02所以mgvtgtvx8.0260cos2160cos2020001-9.地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为2s/cm4.3，设赤道上重力加速度为2m/s80.9.解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足2Rg现在赤道上物体R2104.317104.38.921-10.已知子弹的轨迹为抛物线，初速为0v，并且0v与水平面的夹角为.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：在顶点处子弹的速度cos0vv，顶点处切向加速度为0。因此有：202)cos(vvggv220cos在落地点速度为0v20cosvgcos20gv1-11.飞机以s/m1000v的速度沿水平直线飞行，在离地面高m98h时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为x有：tvx0221gth联立方程解得：mx44705.77arctanhx1-12.设将两物体A和B分别以初速Av和Bv抛掷出去．Av与水平面的夹角为；Bv与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。解：两个物体在任意时刻的速度为jivA)sin(cos0gtvv0jivBgt)-sin(cos00vvjivvvABA)sinsin()coscos(-0000Bvvvv与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。1-13.一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为s/m0.490v，而气球以速度s/m6.19v匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？物体在任意时刻的速度表达式为gtvvy0故气球中的观察者测得物体的速度vvvy代入时间t可以得到第二秒末物体速度smv8.9第三秒末物体速度0v第四秒末物体速度smv8.91-14.质点沿x在轴向运动，加速度kva，k为常数．设从原点出发时速度为0v，求运动方程)(txx.解：kvdtdvtvvkdtdvv001tkevv0tkevdtdx0dtevdxtktx000)1(0tkekvx1-15.跳水运动员自m10跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度2kva，1m4.0k.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴跳水运动员入水速度smghv1420dxdvvdtdvkv2xvvkdxdvv010001mkx76.510ln11-16.一飞行火箭的运动学方程为：)1ln()1(bttbuutx，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：（1）)1ln(btudtdxv（2）btubdtdva11-17.质点的运动方程为：,2,sin,costhztRytRx式中、、hR为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解：（1）轨道方程为222Ryxthz2这是一条空间螺旋线。在Oxy平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h（2）tRdtdxvxsin2222224hRvvvvzyx（3）tRaxcos2tRaysin20za222Raaayx思考题1-1.质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（1）vvvv,；（2）vvvv,；（3）vvvv,；（4）vvvv,答：（3）1-2.质点的tx~关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？答：cbavvv1-3.结合tv~图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。答：平均加速度表示速度v在t时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。1-4.运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。1-5.如图所示，两船A和B相距R，分别以速度Av和Bv匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图中和为已知。答：方法一如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度AvvvB.v是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.由A作BC垂线AC,其长度minr就是两船相靠最近的距离sinminRr作FD//AB,构成直角三角形DEF,故有vvvABsinsinsin在三角形BEF中,由余弦定理可得)cos(222BABAvvvvvRvvvvvvrBABAAB)cos(2sinsin22min方法二：两船在任一时刻t的位置矢量分别为jirA)tsin)cos(BAvtv(jirB)tsin)cos(BBvtvR(jirrrA])sinsin[(])coscos([-BtvvtvvRABAB任一时刻两船的距离为22])sinsin[(])coscos([tvvtvvRrABAB令0)(dttdrRvvvvvvtABABAB22)sinsin()coscos(coscosRvvvvvvrBABAAB)cos(2sinsin22min1-6.若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？（1）0ddtr，0ddtr；（2）0ddtv，0ddtv；（3）0ddta，0ddta答:(1)质点作圆周运动.(2)质点作匀速率曲线运动.(3)质点作抛体运动.1-7.一质点作斜抛运动，用1t代表落地时，.（1）说明下面三个积分的意义：tvtvtvttytxd,d,d111000.（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：BABABArd,d,drr.答:tvtxd10表示物体落地时x方向的距离tvtyd10表示物体落地时y方向的距离tvtd10表示物体在1t时间内走过的几何路程.BArd抛出点到落地点的位移BArd抛出点到落地点位移的大小BAdr抛出点到落地点位移的大小习题2-1.质量为m的子弹以速度0v水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2)子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：dtdvmkvf，分离变量，可得：vdtdvmk两边同时积分，所以：tmkevv0（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：由vdtdvmk可推出：dvkmvdt，而这个式子两边积分就可以得到位移：00max0vmmxvdtdvvkk。2-2.一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T(r)．解：在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子，假设其质量为dm，可知：LMddm，分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出：LMdrrrdmrdT22）（。距转轴为r处绳中的张力T(r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：）（）（）（2222rLLMrdTrTLr2-3.已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即2/xkf，k是比例常数．设质点在Ax时的速度为零，