高数-第七章-无穷级数-知识点

第七章无穷级数一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：1、形如11nnaq的几何级数（等比级数）：当1q时收敛，当1q时发散。2、形如11npn的P级数：当1p时收敛，当1p时发散。3、0limnnU级数发散；级数收敛0limnnU4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数1nnU，满足条件lUUnnn1lim：当1l时，级数收敛；当1l时，级数发散（或l）；当1l时，无法判断。5、根值判别法（适用于含有因式的n次幂）：若正项级数1nnU，满足条件nnnUlim：当1时，级数收敛；当1时，级数发散（或）；当1时，无法判断。注：当1,1l时，方法失灵。6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）推论：若1nnU与1nnV均为正项级数，且lVUnnnlim（nV是已知敛散性的级数)若l0，则级数1nnU与1nnV有相同的敛散性；若0l且级数1nnV收敛，则级数1nnU收敛；若l且级数1nnV发散，则级数1nnU发散。7、定义判断：若CSnnlim收敛，若nnSlim无极限发散。8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：满足1nnUU，0limnnU收敛，其和1uS。9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。二、无穷级数的基本性质：1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。2、收敛的无穷级数1nnU，其和为S，则1nnaU，其和为aS（0a）（级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变）3、级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。（逆否命题：加括号后发散，则原级数发散）加括号后级数收敛，原级数未必收敛。